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Temas de Estadística
Práctica Antonio Roldán Martínez |
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Distribuciones teóricas |
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Estás en Inicio > Estadística >> Tema 6 - Distribuciones teóricas |
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Cuestión-ejemplo
Prácticas
Ejercicios
Uso en el aula
Para ampliar
Bondad de ajuste
Caso práctico
Resumen teórico
| Cuestión-Ejemplo |
| Este alumno, ¿está respondiendo al azar? |
Un profesor suele plantear a sus alumnos cuestionarios de veinte preguntas, en las que hay que elegir la verdadera entre tres posibilidades. Quiere evaluar con justicia, pero piensa que algunos de sus alumnos y alumnas pueden superar el cuestionario respondiendo al azar. Desearía averiguar, por ejemplo, qué probabilidad se tendría de acertar 10 o más preguntas sin saber nada del tema.
En estos casos, la Estadística puede orientar mediante la comparación de los resultados empíricos con los que se esperarían según unos Modelos Estadísticos Teóricos, elaborados mediante técnicas derivadas de la probabilidad. Para conseguir esto, debemos tener muy claras las propiedades del estudio que estamos efectuando, para ver si coinciden con las propias de los modelos teóricos.
En el caso de la cuestión anterior se dan tres condiciones:
Resulta que estas tres condiciones caracterizan a un modelo teórico muy popular, que es la Distribución binomial. En este tema nos ocurrirá esto a menudo, que si se cumplen unas condiciones, podrá existir un modelo que nos resuelva algunos cálculos.
Distribución binomial
Efectivamente, el ejemplo citado es un caso típico de Distribución Binomial, pues el alumno que no sabe nada siempre tiene la probabilidad p=1/3 de acertar una pregunta por casualidad. Las preguntas son independientes (salvo algunas pautas inconscientes que pueden seguir) y se trata de estudiar los éxitos obtenidos en 20 intentos.
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Si repasas el resumen teórico reconocerás en este caso la ley Binomial, que será la que apliquemos. |
Ejemplo de Distribución teórica
Usaremos una hoja de cálculo que nos ayude en la cuestión propuesta al inicio de este tema.
Abre el archivo tablabin.ods.
Abre practica61.pdf
Sigue sus instrucciones.
Normalidad de una distribución de notas.
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Repasa las características de la Distribución normal en el resumen teórico |
Abre el modelo notas.ods
Abre practica62.pdf
Sigue sus instrucciones.
Simulación de un proceso
Según la Ley de los grandes números, las frecuencias tienden a las probabilidades cuando el número de casos tiende a infinito. Intentaremos comprobar esto mediante una simulación.
Tienes el desarrollo en el documento practica63.pdf
Si se arrojan 8 dados en una mesa, ¿cuál es la probabilidad de obtener como máximo tres veces la cara 6?
Tendrás que calcular la probabilidad de obtener 0, 1, 2 o 3 veces el 6. Usa la hoja de cálculo que desees entre las ofrecidas en Herramientas (ver más abajo). Te debe resultar 0,9693, es decir, tendríamos casi la seguridad de obtener como máximo tres veces el 6.
La distribución de Poisson es el límite de la Binomial cuando se cumplen ciertas condiciones: probabilidad pequeña, número de intentos grande, constancia de np, etc. Para que compruebes este fenómeno, vas a resolver esta cuestión con ambas distribuciones:
En una fabricación suele aparecer un artículo defectuoso por cada 20 terminados. ¿Qué probabilidad existe de obtener entre 5 y 15 defectuosos en un lote de 200 fabricados?
Por binomial: Abre la hoja tablabin.ods y rellena los datos pertinentes. Te deberá resultar una probabilidad de 0,9292.
Por Poisson: El parámetro np vale aquí 200*(1/20) = 10. Con este valor halla la probabilidad entre 5 y 15 y obtendrás 0,9220, resultado bastante aproximado al anterior.
Un profesor afirma que su alumnado suele obtener con él una media de 4,6 y una desviación típica de 1,2 en ejercicios puntuados entre 0 y 10. Si en este trimestre ha de realizar 560 pruebas ¿Cuántas calificaciones entre 6 y 8 puntos puede esperar?
Abre la herramienta tablanorm.ods. Escribe los datos adecuados y obtendrás un número esperado de 67 puntuaciones entre 6 y 8.
Simulaciones
Se incluyen en este apartado simulaciones de experimentos aleatorios, porque en Estadística Práctica a veces es la mejor forma de comprobar propiedades cuya demostración rigurosa se encuentre fuera del alcance de las personas interesadas.
Ley de los grandes números
En este modelo se asigna una probabilidad a un suceso y se efectúa una simulación de 10, 20, 50, 100,...tiradas para comprobar mediante un gráfico y una tabla de errores la convergencia entre frecuencia y probabilidad.
Sucesos de tipo cualitativo
Permite definir una distribución teórica de tipo nominal y efectúa una simulación sobre ella.
Lanzamiento de dos dados
Simulación de la tirada de dos dados. Se puede apostar por una suma y realizar recuentos que conducen la ley binomial. Ha sido experimentado con alumnado de Enseñanza media en cursos de profesores usando una versión anterior a la que se ofrece.
Tiradas de monedas
Mediante un temporizador, se simulan series de tiradas de monedas, al final de las cuales aparecerá un diagrama de barras con un buen ajuste a la distribución binomial.
Distribución uniforme
Genera datos distribuidos uniformemente a lo largo de un intervalo. Se puede elegir el número de datos generados, sus límites y su carácter de número natural o real.
Distribución normal
Genera datos distribuidos de forma normal.Se puede elegir el número de datos generados y sus límites.
Distribución binomial
Genera datos distribuidos según una distribución binomial. Se puede elegir el número de intentos en cada experimento y la probabilidad de éxito.
Experimento de Galton
Reproduce, de forma muy efectista, el experimento de Galton de caída de bolas por un aparato con canales en escala. Es una forma muy intuitiva de entender la acumulación de sucesos en la distribución binomial.
Ajustes
Bondad de ajuste mediante el test chi-cuadrado
Test de ajuste entre una distribución empírica y la correspondiente teórica. Esta última la ha de escribir el usuario según sus conocimientos.
Ajuste a una distribución normal
Ajusta una distribución de frecuencias al modelo normal, indicado si el ajuste es significativo o no.
Cálculos
Probabilidades binomiales
Es un pequeño modelo que admite como entradas Número de intentos, Número de éxitos y Probabilidad P. El resto de celdas está protegido contra escritura. Es un comprobador simple y útil de los cálculos que puedan efectuar los alumnos.
Probabilidades de Poisson
Con el valor de la media m (parámetro) construye una tabla de probabilidades, así como la existente entre dos valores.
Frecuencias normales
Para un conjunto de datos del que se conocen el máximo y el mínimo, calcula las frecuencias que se podría esperar si el conjunto siguiera una distribución normal.
Similar a la anterior. Se escribe la media, la desviación típica y el número total de unos datos, y la hoja devuelve la frecuencia esperada entre dos medidas concretas.
Abre el modelo chicuad.ods.
Desarrolla esta ampliación siguiendo el documento ampliar61.pdf
Abre la hoja de cálculo tablanorm.ods
Lee el caso práctico en el documento caso61.pdf
