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Combinatoria

Propuestas

 

Dentro de estas propuestas encontrarás búsquedas, ejercicios, demostraciones, etc. ordenadas según los siguientes temas:

Uso de la máquina combinatoria

Problemas de combinatoria

Problemas de probabilidad

Con este documento podrás proponer y resolver problemas de Combinatoria y Probabilidad con la ayuda de la máquina de Combinar.

Los ejercicios están graduados por dificultad y se distingue entre problemas de Combinatoria y problemas de Probabilidad.

Para estos ejercicios también puedes usar el modelo de LibreOffice o el de Excel

 



Cuestiones y problemas

De tipo general

Factoriales

Números combinatorios

Problemas de concursos y olimpiadas

 

Hoja de Cálculo

Diferencias de factoriales

 

Cuestiones y problemas

La dificultad de cada cuestión o problema viene dada por el número de "pizarritas":

Fácil

De tipo medio

Difícil

De tipo general

Factoriales

Números combinatorios

Problemas de concursos y olimpiadas

 

De tipo general
 

Razona que en un colegio al que asisten 600 alumnos y alumnas, existen al menos dos que comparten la fecha de cumpleaños. Ídem, en una clase de 30, dos al menos comparten el signo del zodíaco.

Ayuda: Usa el principio del palomar

Razona que si dibujamos cinco puntos en el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 2 cm, al menos habrá entre ellos dos que disten entre sí a lo sumo la raíz cuadrada de 2. (Parecido al anterior)

 

Se organiza un torneo de tenis y se inscriben en él N jugadores ¿Cuántos partidos hay que organizar si, como es usual, los jugadores se enfrentan a partido único? (Tomado del libro Matemática curiosa, de Peter Higgins)

Ayuda: Ya sabes, en cada partido uno gana y el otro queda eliminado

¿Cuántos cuadrados distintos se pueden dibujar aprovechando las casillas de un tablero de ajedrez? (Tomado del libro Matemática curiosa, de Peter Higgins)

Ayuda: Es preferible que pienses en los centros de esos posibles cuadrados ¿en qué parte del tablero pueden estar? La solución es 204

Varias cuestiones sobre colocación de piezas en un tablero de ajedrez:

(a) ¿De cuántas formas se pueden situar 8 peones en el tablero de forma que no haya dos en la misma fila ni en la misma columna? (Solución 40320)
(b) ¿Y si en la cuestión anterior exigimos que la disposición de peones sea invariante para un giro de 180º respecto al centro del tablero? (Solución: 1680)
(c) Deseamos situar dos torres de forma que ninguna de ellas amenace a la otra ¿De cuántas formas podremos hacerlo? (Solución: 3136?
(d) ¿Y si deseamos que se amenacen mutuamente? (Solución: 896)
 

 

¿De cuántas formas se pueden encajar los distintos tretaminós (piezas del Tetris) en este rectángulo de 4 por 3? (Henry  Dudeney). Ya ves uno dibujado.
Debes considerar los distintos tetraminós que existen, y después intentar girarlos y voltearlos hasta agotar todas las posibilidades.

Ayuda: La solución es: 65 formas distintas.

 

(Publicado en el blog "Números y hoja de cálculo")

¿De cuántas formas se puede colorear un tablero de ajedrez usando sólo los colores blanco y negro, de forma que cada cuadrado del mismo, de dos casillas de lado, contenga dos de ellas coloreadas en blanco y las otras dos en negro?



 Ayuda: La clave la tiene la primera fila (o primera columna, según como desees trabajar), según sus colores estén totalmente alternados o no. La solución es que hay 510 formas de colorear.

 

 

Razona que en toda fiesta o reunión de amigos siempre hay al menos dos de ellos que tienen el mismo número de amigos en la fiesta.

Ayuda: Usa el principio del palomar y recuerda que la relación de amistad es recíproca.

 

Alrededor de una circunferencia se efectúan diez marcas, y se asignan aleatoriamente los números del 1 al 10 a esas marcas. Considera todas las sumas que se pueden formar con tres de ellos consecutivos. Siempre existirá una que presente un resultado superior a 16.

Ayuda: Aunque esta cuestión parece de Aritmética, está relacionada con el el principio del palomar. Suma los números del 1 al 10 y calcula el total que formarían todas las sumas triples.

 

 

Factoriales

Demuestra que n(k es divisible entre k!
            Consecuencia:  n(k es divisible entre el producto a!.b!.c!.... si a+b+c... = k

Ayuda: En todo producto de números consecutivos ¿qué múltiplos se pueden encontrar?

 

Según la definición de semifactorial de un número n!!, demuestra estas dos igualdades:

            a)  (2n)!! = n! . 2n    b)  (2n+1)!! = (2n+1)! . (2n)!

Ayuda: Basta contar factores

 

 

 

Números combinatorios

 Demuestra, usando los números combinatorios y sus propiedades:

1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 + ...  +n(n+1)  =  n(n+1)(n+2)/3

Ayuda: Si multiplicas y divides todos los sumandos por 2!, obtendrás una suma de números combinatorios, y aplicando sus propiedades llegarás a

que fácilmente se convierte en n(n+1)(n+2)/3

Demuestra, mediante un procedimiento similar al anterior

1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + 4*5*6 + ...  +n(n+1)(n+2)  =  n(n+1)(n+2)(n+3)/4

Ayuda: Si multiplicas y divides todos los sumandos por 3!, obtendrás una suma de números combinatorios, y aplicando sus propiedades llegarás a

que fácilmente se convierte en n(n+1)(n+2)(n+3)/4

 

Problemas de concursos y olimpiadas
 

 

Nota importante: Se incluyen problemas de probabilidad cuando su resolución sólo necesite recuentos de casos posibles y favorables mediante las técnicas usuales de la Combinatoria.

 

Entre todos los números formados por las permutaciones del conjunto 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿cuántos son múltiplos de 275?

El número de ocho cifras deberá terminar en 75 y ser múltiplo de 11. Aunque es un poco pesado recorrer las posibilidades de las cifras de lugar par y las de lugar impar, se llega a sólo 36.

 

Dos personas lanzan de forma independiente cada una de ellas un par de dados. ¿Qué probabilidad existe de que coincidan las sumas de ambas tiradas?

Sólo hay que dividir el suceso en las distintas sumas, desde 1 a 12 y combinar todos los casos posibles en cada una. El resultado es 146/6^4

 

En un centro de enseñanza el 80% del alumnado son chicos, y el resto chicas. En la redacción de una revista participa el 10% de las chicas y el 5% de los chicos. ¿Qué probabilidad existe de elegir a alguien de la redacción y que resulte ser chico?

La solución es 2/3. Si no la encuentras, dale un valor adecuado al número total de matriculados en ese centro.

 

Tienes un conjunto de n objetos, cada uno de peso p. Si los pesas por parejas, la suma de todas las parejas posibles es 120. Si los pesas por ternas, la suma de todas las posibles es 240. Calcula n.

Usa la expresión algebraica de los números combinatorios, de la que obtendrás un sistema de ecuaciones de solución n=6 y p=4, luego el conjunto tiene 6 objetos.

 

Alicia y Dani lanzan cada uno dos dados. Encuentra la probabilidad de que ambos obtengan la misma suma.

Solución: 146/1296 Usa el teorema de la Probabilidad Total

 

En la cuadrícula adjunta A y B se mueven por los segmentos de la misma con igual velocidad y salen al mismo tiempo. A puede moverse mediante pasos a la izquierda y hacia abajo, en cualquier orden. B puede moverse a la derecha y hacia arriba. Cada uno se mueve hacia el punto de partida del otro, al que llegará en 8 pasos. Calcular la probabilidad de que se encuentren en un punto de la cuadrícula.

Para encontrarse han de dar cuatro pasos cada uno. Estudia en qué puntos se podrán encontrar (son cinco) y cuenta los casos posibles y favorables existen. Posibles son 256 y favorables 70. Averigua por qué.

 

En un conjunto de 12 elementos a1, a2, a3... a12 se forman todos los subconjuntos posibles (des un solo elemento has los doce), de forma que todos los subíndices de los elementos elegidos sean múltiplos del primero. Así, se admiten subconjuntos de tipo  (a3, a6, a9) (a5, a10)  (a7)
¿Cuántos se pueden formar?

Piensa que si el primero es a1, admitirá pertenecer a 211 subconjuntos. Si es  a2 podrá formar 25 subconjuntos.. Sigue recorriendo los subíndices y llegarás a 2102 subconjuntos.

 

Formamos el número entero x mediante la fórmula x = 3a + 3b con a y b enteros elegidos al azar entre 1 y 100 ambos inclusive. ¿Qué probabilidad existe de que el número x así formada pueda ser múltiplo de 5?

Los restos potenciales de 3 respecto a 5 son 1, 3, -1, -3. Como son cuatro, se repartirán de forma equitativa entre 1 y 100. Estudia los restos posibles de la expresión 3a + 3b y descubrirás que en una cuarta parte de los casos resulta un resto 0, luego la probabilidad es 1/4.

 

Se ensartan en un hilo 2n cuentas blancas y 2n cuentas negras en cualquier orden, formando una cadena abierta. Demostrar que siempre se puede cortar en esa cadena una ristra de 2n cuentas de las que n sean negras y n blancas.

Para demostrarlo elige la ristra de más a la izquierda. Si contiene n cuentas negras y n blancas, ya estará demostrado. En caso contrario, llama m a la diferencia entre el número de negras y el de blancas. Conseguirás demostrarlo si estudias cómo cambia m al ir quitando la cuenta de más a la izquierda de cada ristra y sustituyéndola por la siguiente a la derecha hasta llegar a la última ristra de la derecha, en la que m se ha tenido que convertir en ...Averígualo.

 

Hoja de Cálculo

Diferencias de factoriales

Construye, mediante una hoja de cálculo, la siguiente tabla:

La primera fila la rellenas con los factoriales de 1,2,3,4..., mediante la función FACT
La fila segunda deberá contener la diferencia entre cada factorial y el siguiente.
Los productos de abajo tendrán como factores los indicados por las flechas: cada diferencia con el factorial anterior

¿Qué relación existe entre cada producto y el factorial de su misma columna? Comprueba añadiendo una fila nueva.

Expresa esa relación mediante una igualdad de tipo algebraico.

Intenta demostrarla. No es difícil si recuerdas la definición de factorial y sacas un factor común adecuado.