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Aritmética Teoría Propuestas Diccionario Herramientas
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Aritmética Propuestas |
Dentro de estas propuestas encontrarás búsquedas, ejercicios, demostraciones, etc. ordenadas según los siguientes temas:
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Puedes usar el Buscador de números naturales |
Encuentra,
usando el Buscador, un número de cuatro cifras, del tipo
aabb,
que sea cuadrado perfecto.
Ayuda:
Pedir que sea cuadrado es elemental en el Buscador. La estructura aabb la
puedes pedir usando las declaraciones y mediante dos igualdades con la
función CIF. CIF(4)=... La solución se encuentra entre 7000 y 8000 y es el
cuadrado de un capicúa.
Con el buscador de números naturales es muy fácil encontrar soluciones de la ecuación de Pell: ax2+1 = y2, con a entero positivo.
Por ejemplo, para resolver 8x2+1 = y2, sólo tienes que usar las condiciones
| Cuadrado | SI | |
porque buscaremos el valor de y, que figura al cuadrado
| a*N2+b*N+c | Cuadrática | SI |
| a | b | c |
| 8 | 0 | 1 |
que representa la forma cuadrática 8x2+1
Busca, por ejemplo, entre 1 y 1000 y conseguirás las soluciones
9 = 8*1 +1 , que corresponde a la solución y=3 x=1
289 = 8*36+1. Es decir, que y=17 x=6
9801 = 8*1225+1, que equivale a y=99 x=35
La ecuación z2 = x2+y2 se resuelve de forma similar a la anterior
Usamos la misma condición de exigir que z sea cuadrado
| Cuadrado | SI | |
y definimos una suma especial de esta forma:
| Suma especial | SI | |
| Escribe C,T,P,o N= (o nada) en cada celda | A | C |
| B | C | |
| C |
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| D | ||
Consulta las propiedades de este número en el apartado de Demostraciones.
Si deseas que tus alumnos y alumnas comprueben tan sólo esta propiedad, puedes usar las hojas de cálculo siguientes
el1089.xls el1089.ods
Con este algoritmo clásico para la multiplicación, que se remonta al antiguo Egipto y que también es conocido como multiplicación rusa puedes desmitificar en las clases la clásica forma de multiplicar. Este algoritmo consiste en duplicar sucesivamente uno de los factores, mientras el otro (de forma paralela) se va reduciendo a mitades enteras. Después el producto se consigue tachando las parejas cuya parte “mitad” es impar y sumando los “dobles” restantes.
Puedes usar la hoja de Cálculo correspondiente
Visor de sucesiones de números naturales
Abre el Visor de números naturales
Existen tantas sucesiones de números naturales, y con tan elevado número de propiedades, que resulta interesante disponer de un Visor que permita observar los términos de una sucesión mediante la expresión de su término general o de la definición por recurrencia.
Lee el documento visor.pdf, en el que además de contener las instrucciones para su manejo, propone diversas comprobaciones de propiedades, equivalencia entre definiciones, etc.
Puedes seleccionar algunas de ellas y confeccionar una Guía para su uso en las clases.
Estudio en el aula de los números triangulares
Los números 50, 65 y 85 son los primeros que se descomponen en suma de dos números cuadrados de dos o más formas distintas, salvo el orden. ¿Cuántas?
Un número natural de n cifras se llama cíclico cuando al multiplicarlo por cualquier otro número natural entre 1 y n se obtiene un resultado formado por las mismas cifras que él, pero desplazadas cíclicamente.
Por ejemplo, el número 142857 al multiplicarlo por 2 se convierte en 285714 y al multiplicarlo por 3 en 428571. Intenta todos los productos por los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6
Para buscar otros números cíclicos te damos una idea: el número 142857 se obtiene como periodo decimal al dividir 1 entre 7. Si deseas encontrar otros, deberás intentar dividir 1 entre otros números primos, pero no es seguro que lo obtengas.
Prueba con números primos hasta 100 y quizás obtengas otros ocho números cíclicos, algunos comenzando en uno o varios ceros.
Además de ser el número de días enteros que contiene un año no bisiesto, este número presenta dos curiosas propiedades. Dedúcelas de esta tabla:
Multiplica el número 37037 por 1,2,3,4,... y observarás que todos los productos tienen una estructura de cifras del tipo abcabc. Puedes organizar una tabla con hoja de cálculo:
37037 * 1 37037 37037 * 2 74074 37037 * 3 111111 37037 * 4 148148 37037 * 5 185185 37037 * 6 222222 37037 * 7 259259 37037 * 8 296296 37037 * 9 333333 37037 * 10 370370 37037 * 11 407407 37037 * 12 444444 37037 * 13 481481 37037 * 14 518518 37037 * 15 555555 ¿Por qué ocurre esto? (Descompón el 37037 en factores primos).
¿Por qué falla a partir del 28? (Divide 1000 entre 37).
En 1949 este matemático indio estudió la rutina u operación que lleva su nombre. A partir de cualquier número de cuatro cifras N no todas iguales formó dos números distintos: N' formado por las mismas cifras en orden decreciente y N'' formado mediante una ordenación creciente. A la diferencia K(N) = N' - N'' la llamaremos Función de Kaprekar de N. Así K(2543) = 5432 - 2345 = 3087. Esta función puede iterarse, y formar K(K(N)), K(K(K(N))), etc. En el ejemplo K(K(2543)) = K(3087) = 7803 -3087 = 4716. Estas definiciones se extienden a número cualquiera de cifras, aunque Kaprekar sólo estudió el caso de cuatro.
Si se itera la función de Kaprekar puede llegarse al número cero, a una constante o a un ciclo. Este resultado depende del número de cifras y del valor de N. En el caso de terminar en una constante, esto se produce porque K(N)=N. Esto ocurre con el número 495 en el caso de tres cifras y con 6174 en el caso de cuatro (en sistema de numeración decimal), a los que se les llama constantes de Kaprekar para ese número de cifras.
Para dos cifras no existen constantes, pero se producen ciclos, como 9 , 81, 63, 27, 45, 9. Para cinco cifras no existen números invariantes respecto a la función K, pero sí se producen ciclos. Con seis existen dos: 549945 y 631764.Puedes investigar todo esto con las hojas de cálculo
kaprekar.xls kaprekar.ods
Números autogenerados por sus cifras:
15642=1+56+4215655= =(1*5)*(6+55);
15656=1+5*6+56
15662=1+56+62
2187 = (2+18)7
1285 = (1+28)*5
3972 = 3+(9*7)2 ;
3125 = (3*1+2)5=(31+2)5
6455 = (64-5)*5; 2502 = 2+502
736 = 7+36
343 = (3+4)3
Números narcisistas:
17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57 = 1741725410 + 610 + 710 + 910 + 310 + 010 +
710 + 710 + 710 + 410 = 467930777499 + 19 + 29 + 99 + 89 + 59 + 19 + 59 + 39 = 912985153
13+53+33 = 153
122+332 =1233
882+332 =8833
o más bien "enamorados"
93 + 13 + 93 = 1459
13 + 43 + 53 + 93 = 919
Descomposición en potencias
Un millón se puede descomponer en suma de cubos de varias formas. Aquí tienes las bases que has de usar:
6 46 53 91
28 36 36 96
28 60 66 78
37 44 48 91
55 60 65 70
56 58 67 69División entre su simétrico
8712/2178=4
9801/1089=9
87912/21978=4
98901/10989=9
879912/219978=4
989901/109989=9
8799912/2199978=4
9899901/1099989=9¿Seguirá siendo así para más cifras?
Dos números muy cuadrados en conjunto, pero no solosLos números 184 y 345 no son cuadrados perfectos, pero sí lo son su suma, la suma de sus cuadrados y la suma de sus cubos:
184+345 = 232
1842+3452 = 3912
1843+3453 = 68772
La dificultad de cada demostración viene dada por el número de "pizarritas":
Fácil
De tipo medio
Difícil
Para calcular el cuadrado de números terminados en 5, de pocas cifras, basta separar el 5, y multiplicar el número que queda por su siguiente, para después escribirle a su derecha un 25. Por ejemplo: 125 se eleva al cuadrado así: se separa el 5 y queda un 12, multiplicamos 12 por 13, resultando 156. Le escribimos un 25 y ya tenemos el resultado:
1252 = 15625.Comprueba que esto se cumple siempre e intenta demostrarlo.
Si restamos sucesivamente números de dos cifras con los que tienen esas mismas cifras, pero invertidas, siempre llegamos a 9. Por ejemplo: 62 - 26 = 36 ; 63 - 36 = 27 ; 72 - 27 = 45 ; 54 - 45 = 9. ¿Cómo demostrarlo?
Sugerencia: Intenta lo mismo con números de tres cifras, y observarás que siempre llegarás a 495 y después a 99.
Por ejemplo:
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Haz con ellos dos grupos, de forma que en el primero entre un número más que en el segundo y suma ambos grupos
25+26+27+28+29+30 = 165
31+32+33+34+35 = 165
Como ves, obtienes la misma suma.
¿Ocurrirá siempre esto?
Parece que sí: 9+10+11+12 = 13+14+15 ; 4+5+6 = 7+8
Intenta demostrarlo
Quizás conozcas la propiedad del número 1089. Consiste en elegir un número de tres cifras no repetidas, por ejemplo el 563, invertir sus cifras y restar el menor del mayor de los números así elegidos:
563 - 365 = 198
Después se invierte el resultado y se suman ambos : 198 + 891 = 1089
Elijas los números que elijas, siempre resulta 1089.
¿Te atreverías a demostrarlo?
Busca la comprobación con Hoja de Cálculo
Principio de inducción completa
(Puedes comprobarlo con el Visor de sucesiones)
(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)2 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3
siendo Fn el número de Fermat enésimo
Sobre la sucesión de Fibonacci
Numeraremos esta sucesión a partir del índice 1, aunque en varios textos las propiedades se refieren a índice 0
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34
(a) f(n) = f(n-k).f(k+1) + f(n-k-1).f(k) para k < n-1
(b) Usa la propiedad anterior para demostrar la siguiente fórmula de duplicación de f(n)
f(2n) = f(n).f(n+1) + f(n-1).f(n) = f(n).[f(n+1)+f(n-1)]
Por ejemplo, f(10) = 55 = f(5).[(f(4)+f(6)] = 5.(3+8) = 5.11 = 55
(c) Según esto, si f(n) es múltiplo de un número m ¿Qué ocurre con f(2n)?
(d) Generaliza a f(3n), f(4n),,, f(kn)
Variante: ¿Es cierto que la diferencia entre los cuadrados de dos números triangulares consecutivos es un cubo perfecto? (Esta variante es más fácil y te puede dar ideas sobre la primera)
Otra variante: 1 = 13, 3+5 = 23, 7+9+11 = 33, 13+15+17+19 = 43
¿Ocurrirá siempre así? Intenta demostrarlo de forma autónoma o basándote en las anteriores variantes.
Cuestiones y problemas de concursos y olimpiadas
La dificultad de cada cuestión o problema viene dada por el número de "pizarritas":
Fácil
De tipo medio
Difícil
La solución la obtienes fácilmente. Es el número 10.
Si descompones las diferencias de cuadrados obtendrás una progresión aritmética de suma 1999000
Intenta resolverlo mentalmente. La solución es 100(b-1
Uso de la hoja de cálculo:
También puedes comprobar el resultado con las hojas sistenum.ods y sistenum.xls, pero no es fácil. Hay que prestar atención a los cambios directos e inversos.
Con operaciones de álgebra elemental llegamos a c=6
No es difícil. la solución es 20.
En las ternas pitagóricas un cateto siempre es par, y no podría ser primo, porque el 2 no entra en ninguna terna pitagórica. Por tanto, los números primos son un cateto y la hipotenusa. Con esta consideración llegarás a que el valor mínimo de ese cateto es 11, y la terna será 11, 60 y 61.
Es fácil encontrar la solución si recuerdas la fórmula de la suma de los primeros números impares. La solución pedida es p=11, q=15, r=19, y , por tanto, p+q+r=45
¿Entre qué potencias de 10 estará cada uno? Por ahí consigues ver que el máximo es 13.
Basta recorrer los capicúas de dos cifras hasta cierto número ¿cuál?. La solución es que sólo hay dos: el 121 y el 484.
Para que el Buscador de Naturales los encuentre hay que programar las siguientes condiciones:
Capicúa SI
a*N2+b*N+c Cuadrática SI a b c 121 0 0
con este resultado:
Núm. Resultado Detalles 1 121 121* 1^2 + 0 * 1 + 0 2 484 121* 2^2 + 0 * 2 + 0
Intenta justificar por qué se pueden usar estas condiciones.
Deberás descomponer 120 en dos factores de la misma paridad. Así llegas a que x puede valer 11, 13, 17 y 31 (y sus opuestos)
Las condiciones del problema suponen, si desarrollas las fórmulas de las sumas, que existe una relación sencilla entre el primer término y la diferencia de la sucesión. Una vez descubierta, es muy fácil comprobar que a8 / a23 es igual a 1/3.
Puedes considerar que N2 = (10220 - 1)2 = 10440 + 1 - 2.10220
Reconoce los dígitos que formarán este resultado. Al sumarlos te resultará 1990, que es la solución pedidaIntenta generalizar este resultado par todos los números formados por varios nueves.
Sustituye el 220 por una variable m y obtendrás una suma de 9m.
Puedes descomponer la fracción algebraica en una parte entera y otra fraccionaria. Esta última ha de ser un número entero, lo que sólo permite los valores de 21, 98, 219 y 461.
Uso de la hoja de cálculo:
Abre sucesiones.ods o sucesiones.xls. Define la sucesión con la fórmula N (para que se vean todos los números), el tope en 500, y define como fórmula la usada en el problema: (N+1)^2/(N+23). Con ello verás que los únicos números que producen un cociente entero son los siguientes:
N A(N) Fórmula
21 21 11
98 98 81
219 219 200
461 461 441 Aparentemente, también cumplen la condición 459, 460, 462 y 463, pero si aumentas el número de decimales de las celdas observarás que los resultados no son enteros.
Otro procedimiento
Podemos dar un largo rodeo, pero que puede resultar entretenido. Iguala el cociente (n+1)^2/(n+23) a un entero positivo k. Esto dará lugar a una ecuación de segundo grado en n, a la que habrá que exigirle que el discriminante sea un cuadrado de un entero m2. Esto hará que tengamos que resolver otra ecuación de segundo grado en k, a la que exigiremos lo mismo. Con ello llegaremos a una descomposición de 442 en producto de dos factores, de los cuales resultan los cuatro números 21, 98, 219 y 461. Promete un buen trabajo, pero, en realidad, se puede escribir en medio folio.
Si estudias la paridad de cada factor (4a + 1) , (4b + 1) y 3c+1 sacarás la consecuencia de la anulación de alguno de los tres números, y por ello ab + ba tendrá el valor de 1
La condición de constituir una progresión aritmética nos lleva a una igualdad entre diferencias de cuadrados, y de ahí a una condición sencilla que nos lleva a que el menor valor de x es 49
f(1) = 1 ; f(2s) = 1 ; Si n<2s entonces F(n+2s) = f(n) + 1
(a) ¿Qué significado podemos asignar a esta función?
(b) ¿Cuál es el máximo valor de f(n) para valores de n inferiores a 2001?Solución
(a) Halla f(n) para valores de n consecutivos, y descubrirás que esta función tiene algo que ver con representar n en sistema de numeración binario.
(b) El máximo valor que puede tomar f(n) es 10, y corresponde al valor de n 1023.
Una forma amena de introducir las técnicas elementales de la Hoja de Cálculo puede ser la de organizar operaciones aritméticas curiosas, como las contenidas en el archivo operaciones, tales como algunos productos por 8 o por 9, ciertos cuadrados, etc.
operaciones.xls operaciones.ods El uso de las hojas de cálculo presenta, respecto a las calculadoras, la ventaja de poder presentar todos los resultados en conjunto y de forma muy ordenada. Puede ser recomendable para el primer uso de este instrumento.
Construye una tabla similar a la de la imagen
Para ello escribe los primeros números naturales hasta el máximo que desees (en la imagen, 10).
Rellena la primera columna con potencias de 2 crecientes inferiores al máximo elegido.
El resto de la tabla (color blanco en la imagen) la rellenas calculando el cociente entero entre el número natural superior y la potencia de 2 de su misma fila. Puedes usar la función COCIENTE.
La fila de color rojo la rellenas con las sumas de las columnas de cocientes. Compara cada número con la suma que produce,
¿Qué observas? ¿Cuál puede ser el origen de las pequeñas diferencias producidas?
En muchas propiedades aritméticas es útil extraer por separado todas las cifras de un número natural y alojarlas en celdas separadas. Puedes verlo en la propuesta sobre la constante de Kaprekar incluida en este documento.
¿Cómo lograrlo en una hoja de cálculo?
Normalmente se usan las funciones RESIDUO y COCIENTE, además de restas y divisiones. También se puede acudir a los logaritmos, aunque es un poco más complicado. Inténtalo por una técnica recurrente, de ir extrayendo las cifras y tomando nota de lo que queda del número después.
Los cuadrones pares de Clifford A. Pickover
Proponemos a continuación la resolución de algunos retos sobre los cuadrones pares de Clifford A. Pickover. Este autor llama así, en su libro El prodigio de los números, a los pares de números p y q como el 10 y el 26, tales que tanto al sumarlos como al restarlos, dan lugar al cuadrado de un número entero (26-10=16 y 26+10=36).
p-q = m2, p+q = n2
Los primeros ejemplos de cuadrones pares son: 4 y 5, 6 y 10, 8 y 17, 10 y 26, 12 y 13, ...
El primer reto consiste en organizar una hoja de cálculo similar a la propuesta en la imagen
Puedes usar otro esquema, pero te puedes basar en el que se presenta, en el cual, la primera columna contiene el primer número del par, q, y las celdas de color azul pastel contienen el segundo número p. Así puedes encontrar los primeros cuadrones pares reseñados en el párrafo anterior: 4 y 5, 6 y 10, 8 y 17, 10 y 26, 12 y 13, 12 y 37, etc.
En este esquema no se incluyen las soluciones triviales en las que ambos números son iguales y su diferencia, por tanto, es el cuadrado de 0: 2 y 2, 8 y 8, 18 y 18, etc.
En las filas superiores se han situado los primeros números naturales y sus cuadrados 1, 4, 9, 16... como posibles diferencias entre los dos cuadrones.
Sobre este esquema te planteamos el reto de conseguir que aparezcan los valores de P: 5, 10, 17, 26, etc., o bien una celda en blanco, con la misma fórmula en todas las celdas de color azul. Debes escribir esa fórmula en la esquina superior del esquema y que al rellenar hacia abajo y hacia la derecha, aparezcan todos lo valores de p.
Si usas otro esquema, plantéate el mismo reto de usar sólo una fórmula en toda la zona de cálculo.
El segundo reto surge de la imagen anterior ampliada con más números y vista según una escala mas pequeña.
Se observa que existen números p pertenecientes a un par de cuadrones pares que se sitúan según unas líneas rectas.
Al estudiar las secuencias te darás cuenta de que forman progresiones aritméticas de segundo orden, y que, por tanto, la fórmula que siguen es un trinomio de segundo grado.
¿Qué fórmula polinómica de segundo grado sigue cada una de las rectas?
Puedes usar el interpolador cuadrático interpola.ods (o interpola.xls) al que basta darle tres valores de cada variable
Como ayuda te indicaremos que una de ellas es p = q2/36 + 9
Una vez encuentres las fórmulas (no todas, pues llegarás a una regla de formación) podrás considerar qué valores ha de tener q para que el resultado sea entero. En el ejemplo ha de ser múltiplo de 6.
Con estas consideraciones podrás iniciar una búsqueda sistemática de pares p y q.
Un tercer reto:
Los valores de p correspondientes a un mismo valor del cuadrado de la fila superior (en la imagen se han destacado mediante rectas los correspondientes a a los cuadrados 1, 4, 16 y 49) también forman una progresión aritmética de segundo orden.
Si llamamos c al cuadrado superior y n al número de orden dentro de la secuencia (No se trata del valor de q. Por ejemplo, en la secuencia para el cuadrado 16, al 26 le corresponde n=1, al 40, n=2, etc.) obtendremos una expresión de segundo grado para p.
Como ayuda te indicaremos que puede resultar la suma de dos cuadrados.
Una vez encontrada la expresión de p, podemos encontrar q restando el cuadrado c.
Por último:
Si piensas que es más fácil situar p en la primera columna y q en la primera fila, quizás te equivoques.
Prueba a conseguir con la misma fórmula en todas las celdas, que se marquen con una O los pares de cuadrones, y se dejen en blanco las demás, y verás que no es nada fácil.
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