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Pequeño diccionario de Divisibilidad

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A

Abundancia
Abundante
Adenda
Aditiva
Algoritmo
Alícuota
Altamente compuesto
Amigos
Andrica
Antiarmónico
Antisigma
Aquiles
Armónico
Aspirante
 

B

Bertrand
Bezout
Bigomega
Brillante
Brocard
Brun

 

C

Carmichael
Casiprimo
Chen
Compuesto
Congruencia
Conjetura
Coprimo
Criterio
Cullen

 

D

De la Vallé Pousin
Deficiente
Descomposición
Dirichlet
Distribución de números primos
Divisibilidad
Divisible
Divisor

 

E

Eratóstenes
Esfénico
Euclides
Euler
Extraño

 

F

Factor
Factorización
Fermat
Fórmulas para primos
Fósil
Frobenius
Fuerte
Funciones en Teoría de Números.

 

G

Gauss
Gemelos
Girard
Goldbach

 

H

Hadamard
Hamming
Hardy-Littlewood

Harshad
Heterogéneo
Hoax
Homogéneo

 

I

Indicador
Indicatriz
Infinitud de los números primos
Ingham
Interprimo
Intocable

 

K

Kempner

 

L

Lagrange
Legendre
Logaritmo entero

 

 

M

Máximo común divisor
MDI
Menor múltiplo cuadrado
Mersenne
Mínimo común múltiplo
Moebius
Moran
Múltiplo,

 

N


Número

 

O

Omega
Omirp
Oppermann
Ormiston
Ore

 

P

Partes cuadrada y libre
Perfecto
Poderoso
Polidivisible
Polignac
Primario
Primo
Primorial
Problemas no resueltos
Propio
Pseudoperfecto
Pseudoprimo

 

R

Radical
Raiz interna y externa
Ramaré
Regular
Relación
Repunit
Riemann
Ruth-Aaron

 

S

Schinzel
Semiperfecto
Semiprimo
Sexy
Sigma
Signatura
Smarandache
Smith
Sociable
SOPF
SOPFR
Sofíe Germain
Submúltiplo

 

T

Tau
Thabit idn qurra
Tchebychev
Teorema
Teoría de Números
Triplete
Truncable

 

U

Ulam
Unicidad

Unitario
Usigma

 

V

Vaughan
Vinogradov

 

W

Waring
Wilson

 


A

 

Abundancia

Dado un número natural N, llamaremos abundancia de N al cociente entre sigma(N) entre N, es decir, entre la suma de sus divisores y él mismo. En los números perfectos la abundancia vale 2, en los deficientes menos de 2 y en los abundantes más de esa cantidad.

 

Abundante

Número abundante o excesivo

Un número es abundante si es menor que la suma de todos sus divisores propios, por ejemplo el 12.

Adenda

Recibe este nombre la función que está definida a partir de una suma extendida a todos los divisores de un número. Los elementos de esta suma se llaman adendum.

Aditiva

Función aditiva en Teoría de Números

Una función g definida sobre números naturales posee la propiedad completamente aditiva si se verifica que g(a*b)=g(a)+g(b) para cualquier par de números natrales a y b.

Si únicamente se cumple para  coprimos (primos entre sí), se dirá que es aditiva simplemente.

Un ejemplo de función completamente aditiva es el logaritmo entero o suma de factores primos con repetición. Si se sumaran los factores sin repetirlos, la función sólo sería aditiva.

 

Algoritmo

Es una serie finita de reglas o cálculos en un orden determinado para obtener un resultado a partir de unos datos

Algoritmo de Euclides

Algoritmo que encuentra el MCD de dos números a y b mediante divisiones sucesivas.

Alícuota

Parte alícuota

Una parte alícuota de n es todo divisor propio del mismo, es decir, menor que n.

Sucesión alícuota

Una sucesión alícuota es aquella definida por recurrencia en la que cada término es la parte alícuota del anterior.Su final puede ser cero, un número constante, una sucesión periódica o bien ser desconocida hasta la fecha.
 

Altamente compuesto

Un número altamente compuesto es un entero positivo con más divisores que cualquier número entero positivo menor que él mismo.

 

Amigos

Números amigos

Dos números naturales son amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de todos los divisores propios del otro.

Así, son amigos los pares 220 y 284

No hay fórmulas para encontrar todos los números amigos, aunque existen para construir algunos (Ver Thabit idn Qurra)

Andrica

Conjetura de Andrica

“La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1”

 

Armónico

Número armónico

Los números de Ore también se llaman armónicos.

Antiarmónico

Número antiarmónico

Es aquel número entero en el que sigma(N) divide a sigma_2(N): la suma de sus divisores divide a la suma de los cuadrados de los mismos.

Antisigma

Función antisigma

Al igual que se ha definido la función SIGMA(N) como la suma de todos los divisores de N (incluido él mismo), podemos definir la ANTISIGMA(N), que es la suma de los números menores que N y que no lo dividen.

 

Aquiles

Número de Aquiles

Es aquel número natural poderoso (todos los exponentes de sus factores primos son mayores que 1) que no se puede expresar como potencia perfecta del tipo m^n con m y n naturales. Por ejemplo 108=33*22

Aspirante

Número aspirante

Es aquel que al iniciar sobre él una sucesión alícuota el final es un número constante. Todos los números perfectos son aspirantes y también algunos no perfectos, como el 25,que produce la secuencia 25, 6, 6, 6, 6...

 

 


B

 

Bertrand

Conjetura de Bertrand

Sea P(x) el número de enteros primos inferiores o iguales a x.

Se cumplirá que P(2x)-P(x)>0 para todo x>1 (o sea, existe un primo entre n y 2n ) (Demostrado por Tchebychev en 1851 y por Erdös de forma más simple)

Bézout

Teorema de Bézout

Dos números naturales son primos entre sí si y sólo si existen dos enteros m y n tales que m.a+n.b=1

Bigomega

Función bigomega

La función bigomega W(N) cuenta los factores primos distintos de N teniendo en cuenta las multiplicidades. Equivale a la suma de los exponentes de los factores primos.

 

Brillante

Números brillantes

Son aquellos que son semiprimos y sus dos factores tienen el mismo número de cifras en el sistema decimal. Por ejemplo, 989=23*43

Brocard

Conjetura de Brocard

Para n>1, si representamos como p(n) al enésimo número primo, se verificará que entre p(n)2 y p(n+1)2 existirán al menos cuatro números primos.

 

Brun

Constante de Brun

La constante de Brun se define como la suma de la serie formada por la suma de los inversos de los números primos gemelos, que el mismo Brun demostró que es convergente.

B= 1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + .....

Su valor aproximado es B=1,902160

 


 

 

C

 

Carmichael

Pseudoprimos de Carmichael

Hay algunos pseudoprimos que cumplen la condición am-1º1 (mod m),  para todos los números primos con él. A estos números se les llama de números de Carmichael o pseudoprimos absolutos.

 

Casiprimo

Un número se llama casiprimo de orden K o k-casiprimo cuando su descomposición factorial contiene K factores primos iguales o distintos. Así, los números primos son 1-casiprimos, los semiprimos 2-casiprimos, y así podríamos considerar los 3-casiprimos o 4-casiprimos. El conjunto de todos los números k casiprimos para un k dado se representa con el símbolo Pk. Así, P3={8, 12, 18, 20,...}

 

Chen

Teorema de Chen

Todo número par suficientemente grande es suma de un primo y del producto de dos primos.

 

Compuesto

Número compuesto

Es el número que no es primo, es decir, que tiene divisores distintos de sí mismo y la unidad.

Congruencia

Relación de congruencia

Diremos que a y b son congruentes módulo n, siendo los tres números naturales, si la diferencia b-a (o bien a-b) es un múltiplo de n. Representaremos la relación de congruencia como a=b (mod n).

La relación de congruencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y por tanto da lugar a clases de equivalencia, llamadas también residuales.

Congruencias famosas

Congruencia de Fermat:

Ap-1=1(mod p) si p es primo.

Congruencia de Euler:

Af(n)=1(mod n) donde n no ha de ser necesariamente primo y f(n) es el indicador de Euler de dicho número.

Congruencia de Wilson:

(p-1)!+1=0(mod p) con p primo.

Conjetura

Una conjetura es una afirmación que parece ser cierta en muchos casos, pero que no se ha podido demostrar.

Son conjeturas famosas las de: Bertrand, Fermat, Girard, Goldbach, Hardy - Littlewood, Polignac, Primos gemelos, Waring, etc.

Coprimos

Sinónimo de primos entre sí

Criterio

Criterio de divisibilidad

Un número natural a divide a otro b si todos los factores primos de a lo son también de b con exponentes iguales o mayores.

Criterios de primalidad

Existen muchos criterios para ver si un número N es primo. Destacaremos:

Clásico: Ir probando posibles divisores entre 2 y la raíz cuadrada N. Si ninguno es divisor, N es primo.
Fermat: Basado en el pequeño teorema de Fermat, si 2N-1 no es congruente con 1 módulo N, el número es compuesto. Si es congruente, no se sabrá si es primo o no.
ARCLP: Test basado en el anterior, pero que es totalmente fiable.
Lucas-Lehmer: Criterio especializado en candidatos a primos que sean números de Mersenne.

 

Cullen

Números de Cullen

Son enteros de la forma n.2n +1

Los primeros números de Cullen son 3, 9, 25, 65, 161, 385, ...

Para todo número primo p distinto de 2 existe una infinidad de naturales n tales que p divide al número de Cullen correspondiente.

El número primo más pequeño de Cullen es 141.2141 +1.

Los siguientes números primos de Cullen son los generados por 4713, 5795, 6611, 18496, 32292,...Existe la conjetura de que haya infinitos números de Cullen que sean primos.

 


D

 

De la Vallé Pousin

Ver Hadamard

Deficiente

Número deficiente

Un número se llama deficiente cuando es mayor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo: 21 > 1+3+7

Descomposición

Descomposición en factores primos

Todo número natural se puede descomponer de forma única como producto de factores primos.

Dirichlet

Teorema de Dirichlet

En toda sucesión aritmética a+b.n con a y b primos entre sí existen infinitos números primos.

Por tanto, hay infinitos primos del tipo 4n+1 y también del tipo 4n-1.

Distribución

Distribución de los números primos

Hechos referentes a la distribución de los números primos:

Divisibilidad

Parte de la Aritmética que estudia los múltiplos y divisores

Relación de divisibilidad

Es la relación que existe entre dos números cuando uno es múltiplo del otro.

Divisible

Sinónimo de Múltiplo

Divisor

Divisor de un número

Diremos que un número natural a es divisor de b cuando existe otro número natural k que multiplicado por a da por resultado b.

Divisor propio

Es aquel que es menor que el número al que divide

Conjunto de divisores de un número

Todo número mayor que 1 tiene al menos dos divisores. El conjunto de todos los divisores posibles de un número natural se obtiene a partir de su descomposición factorial an.bm.cp.dq...mediante técnicas combinatorias y el número total de divisores es (n+1)(m+1)(p+1)(q+1)...

Divisor común a varios números

Es un número que es divisor de todos ellos.

Función divisor

Recibe este nombre y también el de tau, el número de divisores de un número N.

Divisor unitario

Un divisor d de N se llama unitario si MCD(d,N/d)=1

 

 


 

E

 

 

Eratóstenes

Criba de Eratóstenes

Algoritmo que encuentra la serie de números primos inferiores a uno dado mediante supresiones ordenadas de números compuestos.

Esfénico

Número esfénico

Es aquel número que es producto de tres números primos diferentes, como 110=2*5*11.

 

 

 

Euclides

Algoritmo de Euclides

Algoritmo para el cálculo del máximo común divisor de dos números mediante las propiedades del resto de la división euclídea.
Consulta en
Herramientas un modelo de Hoja de Cálculo que lo contiene.

Teorema de Euclides o de Gauss

Si un número natural n divide a un producto de otros dos a y b y es primo con a, entonces debe ser divisor de b.

 

Euler

Indicador de Euler (o indicatriz, o en inglés Function totient)

Es una función f(n) que indica la cantidad de números inferiores a n y menores que él.

Una fórmula para esta función es

f(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)... siendo p1 p2 p3 los factores primos de n

Extraño

Número extraño

Es aquel que es abundante, pero no perfecto ni pseudoperfecto. El menor número extraño es el 70.

Números extraños

Dos números son extraños o primos entre sí cuando no poseen divisores comunes.


 

F

 

Factor

Sinónimo de divisor.

Factor primo

Todo número se puede descomponer en producto de factores primos de forma única.

 

Factorización

Es la operación de calcular todos o algunos factores de un número. En especial es importante la factorización mediante números primos y la de Fermat. Existen técnicas especiales para factorizar números muy grandes.

 

Fermat

Factorización de Fermat

Consiste en representar un número natural como diferencia de cuadrados y después aplicar que a2 – b2 = (a+b)(a-b)

Número de Fermat

Es aquel que es de la forma

 

Fórmula

Fórmulas para generar números primos

La fórmula n2+n+17 produce números primos desde n=1 hasta n=16

2n2+9 produce primos desde n=1 hasta n=8

y n2-n+41, de n=1 a n=40

 

Fósil de un número

Dado un número natural N, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de N. Por ejemplo, el fósil de 327 es 8.

Frobenius

Sabemos que dados dos números a y b primos entre sí, existirán dos números enteros x e y tales que se cumpla x*a+y*b=1, y, por tanto, existirán otros dos m y n tales que m*a+n*b=N, siendo N cualquier entero positivo.

La cuestión que planteó Frobenius (problema de las monedas) es para qué números enteros no negativos estos números m y n pueden ser también no negativos, o existirá alguno en el que esto sea imposible. Por ejemplo, 5m+7n nunca es igual a 23 si m y n son mayores o iguales a cero.

Se puede demostrar que para números grandes siempre es posible esta expresión de un número como suma de dos o más múltiplos de otros que sean primos entre sí. Existirá, por tanto, un número que sea el mayor para el que no se cumpla. Este es el llamado número de Frobenius

Fuerte

Número primo fuerte

Si ordenamos y numeramos los números primos, diremos que el primo número n, Pn es fuerte, cuando es mayor que la media aritmética de su primo anterior Pn-1 y su siguiente Pn+1

 

 

 

Funciones

Funciones importantes en teoría de números

f (n): (Indicador de Euler) Representa cuántos números naturales inferiores a n son primos con él.

s (n): Representa la suma de todos los divisores de n incluido él mismo (es la función sigma de Gauss).

p (n): Representa cuántos números primos hay no superiores a n (también llamada función de números primos

Ω(n): Esta función devuelve el número total de factores primos no necesariamente distintos que figuran e su descomposición factorial. Equivale a la suma de los exponentes con los que figuran los factores primos en dicha descomposición.

ω(n): Representa número total de factores primos distintos que figuran e su descomposición factorial.


 

G

 

Gauss

Teorema de Gauss o de Euclides

Si un número natural n divide a un producto de otros dos a y b y es primo con a, entonces debe ser divisor de b.

Polígonos regulares construibles con regla y compás

Para que un polígono regular pueda dibujarse con regla y compás, ha de tener un número de lados del tipo: n=2r.p1.p2.p3…ps, siendo p1,p2,p3…ps números de Fermat.

Entero de Gauss

Es un número primo del tipo 4n+1, con n natural. Este tipo de números se puede descomponer en una suma de cuadrados enteros.

Primo de Gauss

Es un número primo del tipo 4n+3, con n natural. Este tipo de números no se puede descomponer en una suma de cuadrados enteros.

 

Gemelos

Números primos gemelos

Dos números primos se llaman gemelos si su diferencia es 2. Por ejemplo, los pares 5 y 7, 17 y 19, 311 y 313,

Se ignora si el número de primos gemelos es infinito, pero se conjetura que así es.
Erdös demostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p' - p < c·ln(p), donde p' denota el número primo que sigue a p.
Chen mostró que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos.

Si dos números son primos gemelos, se demuestra que han de tener la forma 6n-1 y 6n+1 respectivamente.

Se ha demostrado también que dos números n y n+2 son primos gemelos si y sólo si 4((n-1)!+1) = -n (mod (n(n+2))

Números primos gemelos capicúas

Son aquellos que son ambos primos y capicúas y sólo se diferencian en la cifra central, que en uno de ellos es consecutiva de la del otro. Por ejemplo, son gemelos capicúas los pares de números 181 - 191, 373-383, 13831-13931.

 

Girard

Conjetura de Girard

Todo número primo de la forma 4n+1 puede expresarse de forma única como suma de dos cuadrados.

Esta conjetura fue demostrada por Fermat

 

Goldbach

Conjeturas de Goldbach

Todo número par mayor que 2 es suma de dos primos

Fue propuesta por Goldbach en 1742, en una carta dirigida a Euler. Ha sido comprobada hasta 1014, pero no se ha podido demostrar.

Todo número impar N mayor que 5 es suma de tres primos

Es consecuencia de la anterior.

(Demostrada por Vinogradov (para un número suficientemente grande), tiene como consecuencia que todo número par suficientemente grande es suma de a lo sumo cuatro primos)

Ramaré demostró que todo número par es suma de seis o menos números primos.

 


H

 

Hadamard

Teorema de Hadamard

Llamando p (n) al número de primos no superiores a n, se cumple

Lim p (n).ln(n)/n = 1

(Demostrado también por De la Vallé Pousin)

Hamming

Recibe el nombre de sucesión de Hamming la formada por el 1 y los números naturales que son divisibles entre 2,3 y 5 y ningún otro factor primo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48,…

Hardy - Littlewood

Conjetura de Hardy - Littlewood

Si llamamos p2(x) al número de parejas de primos gemelos menores o iguales que n, se cumple:

que es una expresión similar a la de la distribución de los números primos.

 

Harshad

Un número de Harshad (también conocido como  número de Niven), es un número entero divisible entre la suma de sus cifras. Este concepto depende de la base usada. Un número puede ser de Harshad en una base, pero no en otra. Los números de una cifra son todos de Harshad.

Por ejemplo, son números de Harshad 12, 42, 111, 133, 153, etc.

 

Heterogéneo

Números heterogéneos

Dos números naturales se llaman heterogéneos cuando no tienen sus divisores primos iguales.

Por ejemplo, son heterogéneos 15 y 20.

Hoax

Números hoax

En un número "hoax" (engañoso) la suma de sus cifras coincide con la de las de sus factores primos sin repetir, como 424=2^3*53 y las sumas de cifras son: 4+2+4=10. 2+5+3=10, tomando el 2 una sola vez

 

Homogéneo

Números homogéneos

Dos números naturales se llaman homogéneos cuando tienen los mismos divisores primos, como, por ejemplo, 24 y 36.

 


 

I

 

Indicador de Euler

Ver Euler

Indicatriz

Sinónimo del anterior

Infinitud de los números primos

Desde Euclides se sabe que los números primos son infinitos. La demostración de este hecho es una de las más elegantes de la Historia de las Matemáticas.

Ingham

Teorema de Ingham

Para todo n natural suficientemente grande existe un número primo entre n3 y (n+1)3

Interprimo

Un número interprimo es aquel que es media de dos primos consecutivos, como el 15, que es media entre el 13 y el 17.

Intocable

Se llaman así a aquellos números que no pueden ser el resultado de la suma de las partes alícuotas de otro número, es decir, de la suma de sus divisores propios.


L

 

Lagrange

Teorema de Lagrange

Todo número natural es suma de a lo más cuatro números cuadrados.

 

Legendre

Conjetura de Legendre

Esta conjetura afirma que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 existe siempre un número primo.

 

Logaritmo entero

Llamaremos logaritmo entero de un número natural a la suma de todos sus factores primos, contando sus repeticiones.

Se suele representar por la función sopfr(n). Así, sopfr(28)=2+2+7=11. El valor más pequeño corresponde a sopfr(1)=0 y los máximos coinciden con los números primos, como es evidente.

Se le llama logaritmo porque posee la propiedad completamente aditiva: sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b). Se cumple por el hecho de contar las repeticiones de los factores primos. Si se contaran una sola vez, esta propiedad sólo se verificaría si los números fueran primos entre sí y daría lugar a otra función que se representa por sopf(n).



K

Kempner

Los números de Kempner son los valores de la función de Smarandache.


 

M

 

Máximo común divisor

El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

 

MDI

Mayor divisor impar de un número entero, como MDI(20)=5

 

Menor múltiplo cuadrado (MMC)

Es el menor múltiplo cuadrado que posee un número. Por ejemplo MMC(12)=36=6^2.

Mersenne

Número de Mersenne

Número del tipo 2p-1 con p primo.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (MCM) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Moebius

La función de Moebius μ(n) se define así:

Si n no es libre de cuadrados, μ(n) = 0

Si no contiene ningún cuadrado como divisor, μ(n) = 1 si posee un número par de factores primos distintos y μ(n) = -1 si ese número es impar.

 

 

Moran

Un número de Hatschard se llama número de Moran cuando el cociente entre él mismo y la suma de sus cifras es un número entero primo.

 

Múltiplo

Múltiplo de un número

Diremos que un número natural a es múltiplo de b cuando existe otro número natural k que multiplicado por b da por resultado a.

Múltiplo común a varios números

Es un número que es múltiplo de todos ellos.

 


N

 

Número

Ver Número

Abundante, de Cullen, Deficiente, Extraño,

Feliz, de Fermat, de Harshad, de Mersenne, Narcisista, de Ore, Perfecto,

Primario, Primo, Pseudoprimo

Ver Números

Amigos, Primos entre sí, Primos Gemelos, Heterogéneos, Homogéneos, Sociables

 

 


 

O

 

Omega

Familia de funciones que cuentan los divisores de un número.

Omega: Cuenta los factores primos de un número sin tener en cuenta las multiplicidades. Así, omega(60)=3

Biomega: Cuenta los factores primos con multiplicidad, como biomega(60)=4

Omirp

Un número primo recibe el nombre de omipr si su simétrico (el que tiene sus mismas cifras pero invertidas, en base 10) también es primo. Son números omirp 3, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113,...

 

Ormiston

Se llaman pares de Ormiston a los formados por dos números primos consecutivos que presentan las mismas cifras, como 1913 y 1931

 

Oppermann

Conjetura de Oppermann

Fue establecida por Opperman en 1882. Afirma lo siguiente:

Para todo número entero x>1, existe al menos un número primo entre x(x − 1) y x2, y otro primo entre x2 y x(x + 1).

 

Ore

Un número entero positivo N se llama de Ore o armónico cuando la media armónica de todos sus divisores es un número entero.

 


 

P

 

Partes cuadrada y libre

Todos los números naturales contienen un cuadrado en alguna de sus descomposiciones factoriales (eventualmente valdría 1) y otro factor libre de cuadrados (quizás también 1).

Así, tendríamos, por ejemplo: 80=42*5, 121=112*1, 90=32*10, 15=12*15

Podemos llamar parte cuadrada PC(N) a la primera y parte libre PL(N) a la segunda.

Perfecto

Número perfecto

Diremos que un número es perfecto cuando equivale a la suma de todos sus divisores propios (menores que él).

Los primeros números perfectos son 6, 28, 496 y 8128, ya conocidos en la antigüedad.

Número perfecto por múltiplos

Diremos que un número es perfecto (doblemente, triplemente,…) cuando la suma de sus divisores propios es múltiplo de dicho número. Igualmente, se puede afirmar que la función s (n) es el triple, cuádruple, etc. del número.

Por ejemplo: La suma de los divisores de 120 es su doble, 240. Lo mismo les ocurre a los números 672 y 523776.
 

Poderoso

Un número natural es poderoso cuando todos sus factores primos están elevados al menos al cuadrado. Por ejemplo el 72=23*32

Polidivisible

Un número natural escrito en sistema decimal es polidivisible si cumple:

Su primera cifra es distinta de cero
El número formado por las dos primeras cifras es múltiplo de 2
El número formado por las tres primeras cifras es múltiplo de 3
El número formado por las cuatro primeras cifras es múltiplo de 4
Y así sucesivamente.

Por ejemplo, 2012, pues 20 es par. 201 múltiplo de 3 y 2012 múltiplo de 4.
 

Polignac

Conjetura de Polignac

Para todo número natural k , existen infinitos pares de primos tales que su diferencia es 2k

Fórmula de Polignac

Es una fórmula muy sencilla para encontrar los divisores primos del factorial. de un número natural n. Estos divisores son todos los números primos inferiores a n elevados al exponente r dado por la fórmula

siendo pi las potencias del número.

Primario

Número primario

Se llaman números primarios a aquellos que son potencias de primos, como 9, 16, 49 o 169.

Primo

Número primo

Un número natural se llama primo si sólo es divisible entre sí mismo y la unidad.

Números primos gemelos

Ver Gemelos

Números primos entre sí

Son aquellos números naturales (no necesariamente primos) que no tienen divisores comunes.

Su MCD es 1. También se les llama extraños, primos relativos o coprimos.

Números primos entre sí dos a dos

Los elementos de un conjunto de números naturales se dicen primos entre sí dos a dos, cuando tomados por parejas, son siempre primos entre sí. Los números 5,15 y 9 son primos entre sí, pero no dos a dos. Sin embargo 4, 9, 25 y 49 sí lo son.

Números primos permutables

Un número primo es permutable cuando todas sus permutaciones de cifras dan lugar a números primos. Por ejemplo el 337.

Función primo

Es la que relaciona un número primo con su número de orden. Se suele escribir como prime(N). Así, prime(5)=11

Primorial

La palabra primorial se suele usar con tres significados distintos:

(1) Un número es primorial si es igual al producto de los k primeros números primos. Por ejemplo, 210=2*3*5*7.

(2) Llamaremos primorial de un número N y lo representaremos por N# al producto de todos los números primos menores o iguales que él. Los primeros valores de esta función son (están incluidos n=0 y n=1)

(3) Llamaremos primo primorial o primo de Euclides al que tiene la forma p#+1, siendo p primo. Esta definición recuerda que son estos los números usados por Euclides en su demostración de la infinitud del conjunto de primos.

 

Problema

Problemas no resueltos en la Teoría de Números

Los siguientes problemas sobre números naturales no han sido resueltos en el momento de redactar esta página:

 

Pseudoperfecto

Número pseudoperfecto

Es un número n es pseudperfecto cuando equivale a la suma de algunos de sus divisores, como 20=10+5+4+1. Si se tomaran todos los divisores se llamaría perfecto.

 

Pseudoprimo

Número pseudoprimo

Es un número n que cumple que 2 elevado a n es congruente con 2 módulo n Hay infinitos, como 645 o 161038

Pseudoprimo de Perrin

En la sucesión de Perrin, si n es primo, divide a P(n), pero la propiedad contraria no es verdadera: un compuesto puede dividir o no a P(n). La gran mayoría de los compuestos no lo dividen. Los valores de n compuestos que dividan a P(n) son denominados como pseudoprimos de Perrin, como el número 271441.

 


 

R

 

Radical

Radical de un número natural

Radical de N es el mayor divisor de N libre de cuadrados. Equivale al producto de todos sus factores primos elevados a la unidad. Por ejemplo, el radical de 48 es 6=2*3

Raiz interna y externa

Raíz interna de N es la raíz cuadrada de su parte cuadrada. Por ejemplo, la parte cuadrada de 11400 es 100, luego su raíz interna será 20. La representaremos como RI(N). En este caso RI(11400)=10

Raíz externa de N es la raíz cuadrada de su menor múltiplo cuadrado. En el caso de 11400 podríamos escribir RE(11400)=1140, que es la raíz cuadrada de Menor múltiplo cuyadrado de 11400.

 

 

Ramaré

Teorema de Ramaré

Todo número par es suma de 6 o menos números primos.

Regular

Número regular

Es aquel número natural cuya descomposición en factores primos tiene la forma 2m3n5p. Se pueden expresar también como aquellos que dividen a alguna potencia de 30.

 

Relación

Relación de divisibilidad

Diremos que a es divisible entre b cuando b es divisor de a (que por tanto será múltiplo de b)

Esta relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo que constituye un orden. Como no siempre dos números están relacionados por ella, el orden es de tipo parcial.

Relación de congruencia

Dos números están relacionados por una congruencia cuando son congruentes respecto a un módulo dado. Esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva y produce, por tanto, clases de equivalencia, llamadas también clases de restos o residuales.

Repunit

Un número se llama repunit (o repuno o repituno) cuando se puede representar como 11111...(N... en el sistema de numeración decimal o en otros. Todo primo distinto de 2 y 5 posee un múltiplo repunit en el sistema decimal.

Los cuadrados de los repunit hasta N=9 unos, se llaman números de Demlo, y la suma de sus cifras es igual al cuadrado de N

 

Riemann

Función zeta de Riemann

La función de Riemann sobre un número s viene dada por la serie

x (s) = 1 + 1/2s + 1/3s+ 1/4s + 1/5s

Se demuestra que coincide con el producto infinito

П1/(1-ps) , donde p recorre todos los números primos.

 

Ruth-Aaron

Un par del tipo Ruth-Aaron está formado por dos números naturales consecutivos que comparten el mismo valor en su logaritmo entero


 

S

Schinzel

Conjetura de Schinzel

Schinzel conjeturó que para x>8, existe al menos un número primo entre x y x+(lnx)2.

 

Semiperfecto

Sinónimo de Pseudoperfecto

Semiprimo

Un número natural es semiprimo cuando es producto de dos números primos iguales o distintos. Son semiprimos 4, 6, 9, 10, 14, etc. Se usan en Criptografía con números primos muy grandes.

Sexy

Números primos sexy son los que forman un par del tipo (p, p + 6), es decir que su diferencia es seis. Por ejemplo, 31 y 37

Sigma

Con este nombre se conocen todas las funciones que provienen de la suma de los divisores de un número.

Sigma: Llamamos función Sigma a aquella que relaciona cada número con la suma de sus divisores.

Sigma_k: Idéntica a la anterior, suma todos los divisores de un número elevados a la potencia k, por lo  que la anterior equivale a sigma_1.

Sigma* (o usigma): Suma sólo los divisores unitarios.

 

Signatura

Signatura prima

Es el conjunto de los exponentes que figuran en la factorización de un número en factores primos. Se escriben las repeticiones y se suelen ordenar los exponentes de menor a mayor. Por ejemplo, 60 tiene como signatura {1,1,2}, porque 60=22*3*5

 

Smarandache

Función de Smarandache

La función de Smarandache se define, para un número natural n, como el menor entero tal que su factorial es divisible entre n.

 

Smith

Número de Smith

Es aquel en el que la suma de sus cifras coincide con la de la suma de las de sus factores primos tomados con repetición, como el 666, cuyas cifras suman 18 y las de su desarrollo en factores primos 2*3*3*37 también: 2+3+3+3+7=18

 

Sociable

Un conjunto de números se llaman sociables si cada uno de ellos es igual a la suma de los factores propios del anterior hasta llegar de nuevo al primero, es decir, formando una sucesión alícuota cíclica. El periodo de esta sucesión se llama orden del conjunto de números sociables.

Si el periodo es 1, el número es perfecto. Si es 2, es que se trata de números amigos.


Los números sociables más sencillos son 12 496, 14 288,15 472, 14 536 y 14 264

 

Sofíe Germain

Identidad de Sofíe Germain

x4+4y4= (x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)

Teorema de Sofíe Germain

Todo número del tipo a4+4, con a natural y distinto de 1, es compuesto.

Sucesión de Sofíe Germain

Es la formada por los números primos p tales que 2*p+1 también es primo: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89,...

 

SOPF

Suma de los factores primos de un número sin repetición. Así, si 12=2*2*3, SOPF(12)=2+3=5

SOPFR

Suma de los factores primos de un número con repetición. Así, si 60=2*2*3*5, SOPFR(60)=2+2+3+5=12

 

Submúltiplo

Sinónimo de divisor.

 


 

T

 

 

Tau

Recibe el nombre de función tau de un número N al número de sus divisores. También se la denomina función divisor.

Thabit idn qurra

Fórmula de Thabit idn qurra

Permite encontrar pares de números amigos. Se basa en lo siguiente:

Para n>1, si los tres números a = 3.2n-1, b = 3.2n-1-1 y c = 9.22n-1-1 son primos, entonces los números p=2n.a.b y q= 2n.c son amigos

Por ejemplo, para a=11, b=5 y c= 71 resultan 220 y 284.

Los números del tipo 3.2n-1 se llaman números de Thabit y en el sistema de numeración binario vienen representados por las cifras 1, 0 seguidas de la cifra 1 repetida hasta terminar la expresión. Por ejemplo, el número de Thabit 786431 viene representado por 10111111111111111111

Tchebychev

Demostró en 1851 la conjetura de Bertrand

Teorema

Ver Teoremas de Bezout, Chen, Dirichlet, Euclides, Gauss, Hadamard, Ingham, Lagrange, Ramaré, Sofie Germain, Vaughan, Vinogradov, Wilson.

Teorema de los números primos

El cociente p(x)/x (ver p(x)) es asintóticamente equivalente al cociente 1/ln(x) para valores de x muy grandes.

Teoría de Números

Parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales y enteros. Se considera que la fundó Gauss en sus Disquisitiones aritmeticae (Leipzig 1801) en la parte llamada Teoría de Números Aritmética. Más tarde, Galois fundó la parte algebraica y Minkowski la geométrica.

Triplete

Triplete de números primos

Es el formado por tres números primos de la forma p, p+2, p+4. Sólo existe el triplete 3, 5, 7, pues otro mayor contendría un múltiplo de 3.

Truncable

Números primos truncables

Reciben este nombre los números primos que siguen siendo primos aunque se les vayan eliminando las cifras una a una. Unos números permiten esa operación por la izquierda, como 167, que se transforma en 67, también primo, y después en 7. Otros presentan esta propiedad por la derecha, como 599, que pasa a 59 y después a 5. Por último, otros, como el 373, pueden reducirse por ambos lados.

 

 


U

 

 

Ulam

Espiral de Ulam

Si los números naturales se situan en espiral alrededor del 1, los números primos producen pautas que siguen muy a menudo líneas rectas.

 

Unicidad

Unicidad de la descomposición en factores primos

La descomposición de un número natural en factores primos es única, lo que constituye el teorema fundamental de la Divisibilidad.

 

Usigma

La función usigma asigna a cada número entero positivo la suma de sus divisores propios.

 


 

V

 

Vaughan

Teorema de Vaughan

Todo número par es suma como máximo de 26 números primos.

Vinogradov

Teorema de Vinogradov

Todo número impar N suficientemente grande es suma de tres primos

 


 

W

 

Waring

 

Conjeturas De Waring

  1. Todo número impar o es primo o es suma de tres primos
  2. Para todo número natural k existe otro r=g(k) tal que cualquier número natural n se puede escribir como una suma de r sumandos de potencias de orden k de números naturales adecuados.
  3. Casos particulares:

    Para k=2 y r=4 resulta el teorema de Lagrange: Todo número natural es suma de cuatro números cuadrados.

  4. Todo entero positivo se puede expresar como suma de no más de 9 cubos (esto está demostrado) o como suma de no más de 16 cuartas potencias.

Hilbert probó que existe g(k) pero no dio un método para calcularlo.

Hardy y Litlewood descubrieron un método que funciona casi siempre.

Wilson

Teorema de Wilson

Para que n divida a (n-1)!+1 es necesario y suficiente que n sea primo.

Por tanto, para p>0 primo tendremos que (p-1)! Es congruente con –1 módulo p