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Propuestas para el aula y la casa

De tipo general

Aritmética y Álgebra

Ideas para webquest

Búsquedas ordenadas

Ver y calcular

 

 

Propuestas para el aula y la casa

En esta sección se incluirán desarrollos mediante distintos itinerarios de aprendizaje de propuestas de trabajo destinadas a su uso en las aulas. Se presentarán en primer lugar en el blog complementario de esta página Números y hoja de cálculo  y posteriormente se incluirán los desarrollos en esta sección.

En cada propuesta se incluyen diversos apartados, de los que el profesorado puede elegir los que desee para adaptarse a las necesidades de sus estudiantes. Se aconseja la metodología del Taller, que permite fácilmente la atención a la diversidad del alumnado.

Este material se puede usar y adaptar libremente para su uso en el aula. Para otro tipo de reproducción o copia se ruega se cite el autor y la fuente.

 

De tipo general

Propuestas en ramas

Uso de tablas en el aula

 

Aritmética y Álgebra

Fechas cruzadas

Cuadrados de bolas

Cuadrados en progresión aritmética

Sistema de numeración binaria

Deconstruir y construir números enteros

 

Ideas para webquest

¿En qué terminan los números triangulares?

 

Búsquedas ordenadas

Un cuadrado conocido a medias

Compartir o no compartir

¿Cuántas palabras?

 

Ver y Calcular

Suma de cuadrados de números triangulares

El fósil de un número
 

 

Propuestas en ramas (I)

Iniciamos la metodología de "propuestas en ramas" con una colección de propuestas derivadas de un teorema contenido en el libro “Recreaciones matemáticas 2” de Édouard Lucas:

“El número total de puntos de un juego completo de dominós jamás es igual al cuadrado de un número entero”

A veces una propuesta sencilla da lugar a múltiples preguntas. El papel del matemático es el hacerse esas preguntas, aunque no sepa responderlas. En este caso nos podríamos plantear: ¿A qué llamamos dominó de n números? ¿Cuál es la fórmula que nos da el número de fichas? ¿Y el número de puntos? ¿Por qué Lucas afirma que no son cuadrados perfectos?...

Lo bueno de este planteamiento es que cada vez que se responde a una cuestión aparecen otras preguntas, con lo que habremos construido un verdadero árbol con tantas ramas como nuestra imaginación conciba. En este ejemplo se abrirían múltiples ramas. Los lectores quedan invitados a recorrerlas y a inventar otras nuevas:

¿Qué es un dominó de número máximo n? (Lo nombraremos como n-dominó)

Intentar una definición formal, sin olvidar los “blancos”.
 

Nuestro dominó usual se corresponde con n=6 (Un 6-dominó).

Se compone de 28 fichas, con una media de 6 puntos por ficha y un número total de puntos de 168 (demostrarlo)

¿Cuántas fichas y puntos presenta un n-dominó?

El número de fichas viene dado por la expresión n(n+1)/2 y el de puntos por n(n+1)(n+2)/2 (demostrarlo).
 

¿Es cierta la afirmación de Lucas?

Intenta demostrarla considerando cómo se reparten los factores primos del cuadrado perfecto entre los factores n(n+1)(n+2)/2

De una afirmación simple hemos derivado multitud de cuestiones. Unas sabremos demostrarlas, y otras tendrán que quedarse en conjeturas, pero su estudio constituirá una verdadera aventura matemática.
 

Propuestas en ramas (II)

En otra entrada anterior construíamos unas ramas de propuestas a partir de un teorema contenido en el libro “Recreaciones matemáticas 2” de Édouard Lucas:

“El número total de puntos de un juego completo de dominós jamás es igual al cuadrado de un número entero”

¿Es cierta la afirmación de Lucas?

Intenta demostrarla considerando cómo se reparten los factores primos del cuadrado perfecto entre los factores n(n+1)(n+2)/2

Podemos seguir planteándonos preguntas sobre este teorema.

Por ejemplo, se podrían considerar proposiciones parecidas y ver en qué se diferencian del teorema de Lucas:

Esta fórmula es parecida a la de los números triangulares n(n+1)/2, y sin embargo estos sí pueden ser cuadrados, como por ejemplo el 36 o el 1225, que son triangulares y cuadrados a la vez ¿Cuál es la diferencia?

¿Valdría la afirmación para el producto de tres números consecutivos?¿Nunca pueden ser un cuadrado perfecto?¿Y la expresión n(n+1)(n+2)/6?

Para quienes no se atrevan con las demostraciones, una salida es comprobar las afirmaiones con una hoja de cálculo, cambiando el valor de n

¿Podríamos conjeturarlos con una hoja de cálculo?¿Cómo?

Por último, nos podemos dar cuenta de que las expresiones que hemos usado: n(n+1)/2, n(n+1)(n+2)/2 y n(n+1)(n+2)/6 producen siempre un resultado entero para n entero a pesar de contener coeficientes fraccionarios

¿Conoces otras con la misma propiedad? Haz un estudio exhaustivo de este tipo de expresiones enteras.


¿Os apetece crear unas ramas de propuestas a partir de una cuestión determinada?

En otro momento publicaremos ramas de propuestas similares. pueden ser útiles en la Atención a la diversidad, asignando ramas distintas según los niveles del alumnado.

 

Uso de tablas en el aula

Desde la llegada de las calculadoras y los ordenadores el manejo de tablas se ha ido olvidando en nuestras aulas. Sin embargo, su poder formativo es muy grande, y son imprescindibles cuando su contenido está compuesto por datos experimentales, que no se pueden obtener con una calculadora. ¿Qué capacidades del alumnado podemos enriquecer con ese uso? Desarrollamos a continuación algunas de ellas:


Consulta


Muchas de las tablas verdaderamente útiles son de doble entrada (en parte para aprovechar espacio en los libros) pero a los alumnos les puede suponer una gran dificultad su manejo. Un ejemplo de ello son las antiguas tablas de cuadrados. En la siguiente imagen reproducimos un fragmento de una tabla de cuadrados construida con Hoja de Cálculo.

  0 1 2 3 4 5
2 4 4,0401 4,0804 4,1209 4,1616 4,2025
2,1 4,41 4,4521 4,4944 4,5369 4,5796 4,6225
2,2 4,84 4,8841 4,9284 4,9729 5,0176 5,0625
2,3 5,29 5,3361 5,3824 5,4289 5,4756 5,5225
2,4 5,76 5,8081 5,8564 5,9049 5,9536 6,0025
2,5 6,25 6,3001 6,3504 6,4009 6,4516 6,5025
2,6 6,76 6,8121 6,8644 6,9169 6,9696 7,0225
2,7 7,29 7,3441 7,3984 7,4529 7,5076 7,5625
2,8 7,84 7,8961 7,9524 8,0089 8,0656 8,1225
2,9 8,41 8,4681 8,5264 8,5849 8,6436 8,7025

 

La hemos elegido porque las cifras que figuran en la fila superior son centésimas, lo que obliga a realizar un esfuerzo de interpretación. Así, para calcular el cuadrado de 2,64 se deberá buscar la fila 2,6 y ver dónde se cruza con la columna del 4, con un resultado de 6,9696

Son muchas las tablas estadísticas y experimentales que pueden presentar este tipo de dificultades, por lo que creemos que dedicarles a las tablas algunas sesiones no será tiempo perdido.

Interpolación


Otra utilidad formativa de las tablas proviene de la necesidad de efectuar interpolaciones debido a que no nos presentan todos los resultados posibles. Además, en cada interpolación se puede tener una idea del error cometido, al tener siempre dos valores de la tabla acotando al verdadero.

Un ejemplo de interpolación directa: ¿Cuál es tu mejor aproximación para el cuadrado de 2,427 (usando la tabla)?

Buscamos los datos de 2,42 y 2,43, con los resultados siguientes:

Número Cuadrado
2,42     5,8564
2,43     5,9049

Calculamos la tasa de variación: T=(5,9049-5,8564)/(2,43-2,42) = 4,85 y la multiplicamos por 0,007, que es la cifra siguiente, con un resultado de 0,03395, que sumado al primer valor nos da una aproximación de 2,4272 = 5,89035 próximo al que nos daría una calculadora: 2,4272 = 5,890329.

No nos extendemos en este tema, pero nuestros lectores pueden ir reflexionando sobre todas las operaciones mentales que han efectuado los alumnos para entender y reproducir los cálculos anteriores.

Extensión de la tabla


Interpolación inversa: Encuentra mediante la tabla el valor aproximado de la raíz cuadrada de 731
En primer lugar deberán entender que esta tabla, mediante multiplicaciones por potencias de 10, puede resolvernos otros cálculos que no figuren en ella. En este caso buscamos los dos valores más aproximados a 7,31, que son

Número Cuadrado
2,7       7,29
2,71     7,3441

Procedemos como en el anterior ejemplo. Calculamos la tasa inversa

TI=(2,71-2,7)/(7,3441-7,29) = 0,18484288 la multiplicamos por (7,31-7,29), con un resultado de 0,00369686, que sumado a 2,7 nos da una aproximación a la raíz de 7,31 igual a 2,70369686. Como nos piden la raíz de 731 y no de 7,31, multiplicamos por 10 (¿por qué?) y finalmente obtenemos el valor 27,0369686, aproximado al que nos da la calculadora: 27,0370117

Si revisamos todo lo efectuado, también descubriremos en este cálculo los conceptos y capacidades que se adquieren con él. No es una propuesta fácil. Se manejan conceptos de cierta profundidad, por lo que deberíamos darnos por satisfechos con cualquier logro que se alcance.

Construcción


La construcción de estas tablas estaría reservada al profesorado y a alumnado de enseñanza media. Una idea, llevada la práctica por el autor, es la de que los alumnos de Informática construyan tablas con hojas de cálculo y se las pasen a otros cursos para que practiquen con ellas. Así el beneficio es doble.

No es trivial esta construcción. Invitamos a los lectores a reproducir la tabla ejemplo que hemos insertado y podrán comprobar que hay que ir con cuidado. Proponemos también construir la siguiente tabla de interés compuesto, en la que dados el tipo de interés anual y los años transcurridos nos devuelva el tipo acumulado (no el TAE).

  Años        
             Tipo 1 2 3 4 5
1% 1,00% 2,00% 3,00% 4,10% 5,10%
2% 2,00% 4,00% 6,10% 8,20% 10,40%
3% 3,00% 6,10% 9,30% 12,60% 15,90%
4% 4,00% 8,20% 12,50% 17,00% 21,70%
5% 5,00% 10,30% 15,80% 21,60% 27,60%
6% 6,00% 12,40% 19,10% 26,20% 33,80%
7% 7,00% 14,50% 22,50% 31,10% 40,30%

 



 


 

Fechas cruzadas

Elige una hoja de calendario, y destaca en ella un rectángulo cualquiera (ver imagen). Multiplica los números situados uno arriba a la izquierda (lo nombraremos como F11) y el otro abajo a la derecha (F22, al final de la línea roja de la imagen, números 7 y 29). Multiplica también los situados en los vértices restantes (F12=8 y F21=28 en el ejemplo). Resta los productos y descubrirás que 

El producto de los números de la diagonal roja F11*F22 es siempre menor que los de la verde, F21*F12, independientemente del rectángulo que hayas elegido, y su diferencia (negativa) es siempre un múltiplo de 7

Puedes trabajar sobre este hecho analizándolo desde varios puntos de vista

 (a)    ¿Ocurre esto siempre así? Para demostrarlo puedes llamar X al número más pequeño (7 en el ejemplo) y a partir de él, le das como nombre una expresión que contenga X también a los otros cuatro. Desarrolla los productos y te darás cuenta de que el resultado es siempre negativo.

(b)   Simultáneamente verás que es múltiplo de 7 (debes demostrarlo o razonarlo bien). Cambia el salto entre semanas y entre días, y siempre obtendrás ese resultado.

(c)    Observa que en la imagen, a la derecha de la hoja de calendario, figuran resultados que son todos -7. Haz tú algo similar usando una hoja de cálculo. Elige un rectángulo, y en una celda de la derecha escribe la diferencia de productos que estamos estudiando (en el lenguaje de las hojas de cálculo. Una fórmula parecida a =B4*C8-C4*B8), y obtendrás un número negativo y múltiplo de 7. Copia y pega esa fórmula en otras celdas y siempre obtendrás lo mismo.

(d)   ¿Qué ocurriría si usáramos sumas de diagonales en lugar de productos? Esto es mucho más fácil…pero debes demostrarlo también.

(e) Imagina que en un país las semanas fueran de cinco días cada una. ¿Qué ocurriría entonces con esta cuestión que estamos estudiando?

(g) Investiga qué ocurre si al usar, en lugar de las diferencias de productos como =B4*C8-C4*B8 estudiáramos las diferencias de sumas de cuadrados: =B4^2+C8^2-C4^2-B8^2.   Pues resulta que ahora todas las diferencias son positivas, y siguen siendo múltiplos de 7. Intenta comprobarlo con la Hoja de Cálculo y después demostrarlo mediante el álgebra. Llama X a la fecha más pequeña.

(h)  Prueba otros cálculos en diagonal además de productos y sumas de cuadrados. Investiga por si ves algo interesante.

 

Cuadrados de bolas


 

Forma un cuadrado con bolas, situándolas en filas y columnas, las que quieras. Después elimina 10 bolas e intenta reorganizar el resto hasta formar otro cuadrado más pequeño, y verás que resulta imposible, cualquiera que sea el lado del cuadrado que has formado.

Prueba entonces a quitar sólo 6 bolas, y observarás que tampoco puedes formar un cuadrado con las restantes.

Con otros números sí se puede, dependiendo del lado del cuadrado. Por ejemplo, se pueden quitar 7 bolas a un cuadrado de lado 4, y 8 bolas a otro de lado 3.

¿Qué tienen de particular el 6 y el 10 para que ocurra esto?

Descubre más números con un comportamiento similar, o encuentra una propiedad que cumplan todos.

También puedes investigar con una hoja de cálculo, en la que se pueden comparar todos los cuadrados que desees entre sí, sin que nunca aparezca el 6, el 10, y otros que no descubrimos.

 

Cuadrados en progresión aritmética (I)



No es difícil encontrar ternas de cuadrados perfectos que estén en progresión aritmética, tales como 1, 25 y 49, o 4, 100 y 196. ¿Cómo podríamos encontrar más ternas con una hoja de cálculo? Se podría organizar una tabla de doble entrada con los cuadrados perfectos, y después someter a su media aritmética a una condición ¿Cuál?

En la imagen puedes ver el resultado de una búsqueda similar, en la que se han marcado con un 1 los cuadrados perfectos pertenecientes a una terna como la propuesta. Si te animas a construir un buscador semejante podrás encontrar muchas más ternas. Ponte a prueba: ¿Con qué otros dos cuadrados forma progresión aritmética el número 10404, cuadrado de 102? Si lo encuentras, nos lo puedes comunicar en forma de comentario.

Para concretar las ternas pedidas hemos recurrido a una exploración sistemática. Es una forma válida de trabajar en Matemáticas (así se encuentran los números primos), pero que alguien puede pensar que es algo perezosa. Podríamos aportar un análisis algo más profundo, pero eso será en una próxima entrada.
 

 

Cuadrados en progresión aritmética (II)

 
Tal como prometimos, intentaremos un análisis algo más profundo sobre el tema de encontrar ternas de cuadrados perfectos que estén en progresión aritmética, tales como 1, 25 y 49, o 4, 100 y 196.

 


 

Esto nos da un procedimiento de generación de ternas de cuadrados: Elegimos cualquier entero p y buscamos un número par h cuyo cuadrado sea divisible entre p, y mediante la fórmula (1) calculamos n

Ejemplo: p=5, h=10, n=100/10 + 10 + 5 = 25; (n+h)=35: (n-k)=25-10-5*2=5.

Por tanto, los cuadrados en progresión aritmética buscados son: 25, 625 y 1225.


 
En la imagen inicial puedes observar una tabla que genera ternas de este tipo de forma sistemática

 

Sistema de numeración binaria

Idea para el aula

El sistema de numeración en base 2 puede tener un aprendizaje totalmente distinto que el del resto de sistemas en otras bases. Su esencia es la de intentar formar un número a partir de los sumandos 1, 2, 4, 8, 16,… tomados sin repetir. Por ello, si se presenta al alumnado un catálogo de estos números, representados como conjuntos o “montones”, basta ir eligiéndolos uno a uno para formar el número deseado.

Así, para formar el número 81, se van sumando los números 64, 32, 16, etc. añadiendo o quitando cada uno de ellos hasta llegar a la solución 81 = 64 + 16 + 1. La parte más difícil es interpretar después que esta suma da lugar a la representación binaria 1010001. Para ayudar en ese paso hemos creado una hoja de cálculo que visualiza tanto la agregación de los “montones” como la representación binaria a la que dan lugar.

No se dan aquí indicaciones de cómo usar esta hoja, pues su simplicidad permite varios itinerarios distintos en el aprendizaje y la elección de la metodología más adecuada a juicio de cada docente.

Abre la hoja binario2.ods

Si lo descargas con Microsoft Internet Explorer, le añadirá la extensión .zip, pero desde OpenOffice.org Calc se abre sin problemas. Con Mozilla Firefox o Google Chrome no se da ese problema.

Al abrirla se nos consulta sobre la activación de macros. Se puede aceptar con confianza, porque sólo contiene un pequeño código para el funcionamiento de un botón.


Deconstruir y construir números enteros


Idea para el aula


Tomamos a palabra deconstruir de nuestro admirado cocinero Ferrán Adriá. Al igual que él descompone un plato en sus constituyentes y lo vuelve a montar de otra forma, nosotros lo haremos con números. La idea es descomponer un número entero de alguna forma, usando varias operaciones, y después volverlo a construir de otra manera totalmente distinta con los mismos ingredientes.

Lo vemos con el año 2010



La idea es usar distintas técnicas en cada paso: separar cifras, buscar factores primos, descomponer en cuadrados, hallar promedios, usar las cuatro operaciones básicas, etc.

Para un mismo número se pueden establecer competiciones en el aula, para ver qué esquema de deconstrucción es más elegante, o más complejo, o con operaciones muy distintas entre sí. Puede ser un entretenimiento muy formativo, pero se deberá adaptar a la edad de alumnado y a sus conocimientos.

 


 
Ideas para webquest

¿En qué terminan los números triangulares?


“Los números triangulares, expresados en base decimal, no pueden terminar en 2, 4, 7 ó 9”


La metodología de las webquest se adapta muy bien al uso de las hojas de cálculo y a una buena atención a la diversidad. La afirmación anterior constituye un punto de partida que admite la organización de una webquest con distintos itinerarios de aprendizaje según los niveles del alumnado.
 

Se puede comenzar con la frase de arriba, y organizar una webquest para entender bien su significado y los fundamentos de esa afirmación. Incluimos a continuación algunos pasos que se podrían seguir:

(a) Definición de número triangular

 
Se puede buscar en páginas fiables, tales como Wikipedia o la misma Hojamat

(a1) Para el alumnado más aventajado, se sugerirá alguna búsqueda de carácter histórico sobre estos números.
(a2) Los estudiantes con dificultades pueden copiar imágenes de números triangulares y pegarlas en un documento.

(b) Fórmula de los números triangulares

 
Lo ideal sería que se pudiera deducir en el aula esta fórmua mediante inducción y discusión en grupos con la ayuda del profesorado. Así lo ha conseguido el autor en varias ocasiones, Si no, en las mismas páginas se puede encontrar dicha fórmula.

Una vez conseguida la fórmula T(n)=n(n+1)/2, se construye una tabla de números triangulares con una hoja de cálculo.

(b1) Este paso admite una rama de profundización consistente en buscar en la red propiedades de los números triangulares y experimentarlas con la misma hoja de cálculo. También se puede intentar generarlos por recurrencia: T(n+1) = T(n)+n+1
(b2) Una rama de consolidación del aprendizaje consistiría en aplicar esa fórmula sin el uso del ordenador y reproducir en papel las operaciones que se han efectuado en la hoja de cálculo.

(c) Terminación de los números triangulares

 
Ya se está en condiciones de comprobar que ningún número triangular termina en 2, 4, 7 ó 9, y, lo más importante, intentar justificarlo mediante la fórmula o razonamiento. Mediante la fórmula T(n)=n(n+1)/2 se puede discutir en qué cifra puede terminar n, después n+1, su producto y, por último, la mitad del mismo. Una tabla de hoja de cálculo podría ser muy útil.

(c1) Una actividad de perfeccionamiento consistiría en usar la propiedad de que “si tomo ocho veces un número triangular y después sumo 1, resulta un cuadrado”. Se estudian las terminaciones de los cuadrados impares, se les quita una unidad y se discute su cociente entre 8.
(c2) Para el alumnado que necesite consolidar lo aprendido, se puede organizar el cálculo de números triangulares grandes para comprobar sus terminaciones.

(d) Presentación de resultados

 
Todo el trabajo realizado se expone al resto del aula mediante documentos, presentaciones o puestas en común. Si se dispone de una web de centro, se incluye en ella todo el material generado en la webquest.
 
Con estas ideas, adaptándolas al nivel y características de vuestros estudiantes, podéis diseñar una o dos sesiones de trabajo que pueden resultar interesantes.

 


 

 

Búsquedas ordenadas

 

Un cuadrado conocido a medias

Ideas para el aula

Proponemos una búsqueda ordenada a partir de una cuestión similar a la siguiente:

Encuentra un número entero positivo de tres o cuatro cifras sabiendo que su cuadrado comienza con las cifras 82541…

La idea es resolverlo con calculadora u hoja de cálculo, con lo que la primera reacción, además de una búsqueda bastante larga, es obtener la raíz cuadrada de lo que tenemos, y comenzar con las cifras que nos resulten: raíz(82541)=287.. Pero ¿qué hacemos ahora? ¿irle añadiendo cifras e ir probando? ¿considerar los decimales?...Puede resultar bien, y al final de diez intentos conseguiríamos la solución, 2873, pero es que faltaban dos cifras, y por eso fue fácil. ¿Y si hubieran faltado tres?

El interés del problema, para un alumnado de Enseñanza Secundaria, es que al ignorar a priori cuántas cifras faltan, no sólo debe pensar en la raíz del número dado, sino también en la raíz del número que queda al eliminar una cifra. Lo vemos con este ejemplo:

¿Qué número tiene un cuadrado que comienza por 824… sabiendo que faltan por escribir una, dos o tres cifras?

Probamos el procedimiento anterior: Raíz(824)=28,7

Si faltaran dos cifras, deberíamos probar con números cercanos a 285, 286, 287,…y ninguno de sus cuadrados comienza con 824.

Probamos la hipótesis de que falte una cifra, con lo que deberíamos basarnos en Raíz(82)=9,05, y obtenemos otro fracaso, pues desde 90 a 100 ningún número produce un cuadrado que comience con 824.

Por último, probamos con tres cifras más. En teoría deberíamos probar desde 2850 a 2880, por ejemplo, y con paciencia llegaríamos a 2872^2=8248384

Desarrollo en el aula

¿Qué se podría lograr en el aula con este ejercicio? Destacamos algunos aprendizajes y estrategias que se podrían descubrir:

Posibles objetivos
 

Darse cuenta de que la raíz cuadrada actúa sobre pares de cifras

Descubrir búsquedas binarias cuando las cosas se ponen difíciles (caso de tres cifras)

Aprovechar los decimales que nos dan las calculadoras (aquí no lo hemos hecho)

Saber cambiar de estrategia a tiempo.

Posible desarrollo

Se lee en común la cuestión propuesta por el procedimiento que se juzgue más adecuado.

No se debe nombrar la raíz cuadrada en un principio, salvo que transcurran los minutos y no se logre ningún avance. Se plantea la cuestión, explicando las dudas que surjan y se comienza el trabajo de búsqueda. Es conveniente tener preparados varios ejemplos más con distinto número de cifras para intentar conseguir que se resuelvan varios en una misma sesión.

Al finalizar el trabajo se organiza una puesta en común para compartir resultados y estrategias. Si el proceso va lento, se puede abrir una debate breve cuando hayan aparecido dos o tres soluciones.

Agrupamiento del alumnado

Puede organizarse en grupos de dos o individualmente. Si se ve necesario para atender a la diversidad, se pueden permitir grupos de tres.

Material

(1) Calculadora y papel: Tiene la ventaja de que se puede organizar el trabajo de forma individual, pero las búsquedas pueden ser exasperantes.
(2) Hoja de cálculo: Obliga a organizar equipos, pero se da facilidad para organizar mejor las búsquedas y aprovechar la posibilidad de ordenar los intentos en serie en una columna.

Evaluación

Debe obligarse a la escritura de conclusiones, ya sea en otra sesión, o bien fuera del horario escolar. En este ejercicio es tan importante la velocidad como el descubrimiento de estrategias y atajos.

La evaluación se realizará atendiendo al documento producido y a las notas tomadas por el profesorado respecto al desarrollo del trabajo, número de soluciones, variedad de métodos, etc.
 



Compartir o no compartir


Propuesta de investigación en el aula
 

Uno de los teoremas más elegantes de la Teoría de la Divisibilidad afirma que la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales, estos resulten primos entre sí, es decir, que no compartan divisores primos, es igual a

 
Es evidente que la comprensión y demostración de este teorema sobrepasa las capacidades del alumnado de Enseñanza Media, pero se puede intentar una aproximación intuitiva al mismo. Podríamos plantearnos distintas fases de una experimentación.


Fase 1


Experimentación y cálculo

Experimentación con frecuencias y con números acotados

El teorema que presentamos contiene infinitos en su enunciado. Por una parte, la variable aleatoria usada abarca todos los números naturales. Por otra, no existe máximo en la muestra que podamos estudiar. Por eso, en el aula nos podemos restringir a números acotados (por ejemplo, los menores que 100) y a muestras pequeñas, o bien toda la población de los mismos, que en este caso equivaldría a 10000 pares de números. Al alumnado entonces hay que advertirle que estudiaremos frecuencias, no probabilidades.

Experimentación

Se pueden usar bolas del bingo (por ejemplo, cien) con reposición, e ir planteando para cada par si tienen divisores comunes o no. Se puede organizar por grupos o con toda el aula. Cada alumno o alumna copiará en su cuaderno los pares y si son primos o no, para obtener frecuencias.
Con ello obtendremos, una tabla parecida a la siguiente:

Comparten divisores  79
Son primos entre sí  121
Total                      200
Frecuencia relativa   0,6050


Si repetimos el experimento varias veces o acumulamos resultados de varios grupos, nos acercaremos al verdadero valor de la probabilidad para números menores que 100, cuyo valor exacto es 6087/10000 = 0,6087


Cálculo

¿Cómo podemos encontrar esa probabilidad exacta con una hoja de cálculo? Si no deseamos acudir a macros, podemos construir una tabla de doble entrada, por ejemplo de 100 por 100, y calcular la función de Excel y Calc =M.C.D(a,b) para cada par.
En la imagen puede ver un fragmento de esa tabla:



Sobre esta ella aplicamos la función =CONTAR.SI(Rango de los mcd;1), para contar los valores 1, y nos resultarán 6087 sobre 10000.

Ampliación

Después, como ampliación, se pueden encargar experimentos con cotas más altas, como 200, o cálculos de la probabilidad exacta para números pequeños, como del 2 al 20.

Siempre obtendremos frecuencias o probabilidades cercanas al 0,6, con lo que el alumnado sospechará que el verdadero valor es el 60%, por lo que en una segunda fase habrá que sacarle del error:”Esto no es tan simple”.

Un punto delicado es el de saltar a la idea de infinito, pero en estos niveles siempre haremos lo que podamos, sin forzar.

Fase 2


Simulación

Con una hoja de cálculo se pueden simular dos columnas de números aleatorios. La fórmula, como puede ser complicada, se debe sugerir. Recomendamos usar =ENTERO(1+ALEATORIO()*COTA) , siendo COTA la que deseemos marcar para los números del experimento, porque funciona bien en Excel y Calc y no da problemas al recalcular.

En una nueva columna escribimos su M.C.D y contaremos, con CONTAR.SI, la cantidad de valores 1 que aparezcan. Dividimos después por el número de filas usadas y tendremos una aproximación a la probabilidad.

Esta tabla contiene el final de una simulación de números con cota 2000 en una simulación de 2000 filas:




El total de pares se ha calculado con la función CONTAR, el de coprimos con CONTAR.SI aplicado al valor 1, y la frecuencia mediante división.

Si deseas una simulación más potente mediante macros, puedes usar este código:

Sub compartir

Dim i,n,cota,m
dim a,b


randomize
cota=val(inputbox("Cota"))
n=val(inputbox("Número de repeticiones"))
m=0
for i=1 to n
a=int(rnd()*cota+1)
b=int(rnd()*cota+1)
if mcd(a,b)=1 then m=m+1
next i
msgbox(m)

End Sub


Con esta macro podemos preparar tablas en las que se observe su acercamiento al límite teórico. La siguiente tabla está construida con 10000 simulaciones para cada nivel:

N     100     500    1000  10000 100000 1000000
P 0,6098 0,6081 0,6119 0,6060 0,6094  0,6093

Se observa la gran estabilidad de este cálculo, ya que a veces los errores propios de la simulación esconden la convergencia al límite.


Límite similar


También es igual el límite de la frecuencia con la que aparecen los números libres de cuadrados. Se llaman así a aquellos que no son divisibles entre ningún cuadrado, como 21 o 30. Es un poco complicado buscar esos números de forma manual, por lo que podemos usar una función nueva en la hoja de cálculo, cuyo código puede ser:

Public function librecuad(a)
dim m,n,p
dim divi as boolean

if a<4 then
librecuad=1
else
divi=false:n=2:p=1
while divi=false and n<=int(sqr(a))
if a/n/n = int(a/n/n) then divi=true:p=0
n=n+1
wend
librecuad=p
end if
end function

Es una función que nos devuelve un 1 si el número está libre de cuadrados, y 0 si contiene alguno.

Se pueden crear columnas paralelas como las de la imagen





y después usar la función CONTAR para calcular la frecuencia

Si diseñamos dobles columnas para números de mil en mil, nos sorprenderemos de la estabilidad de las frecuencias y su cercanía al límite




¿Cuántas palabras?


El otro día, después de jugar con mi nieta a inventar palabras, se me ocurrió una experiencia para el aula, y es la de organizar un proyecto de estimación del número de palabras que se pueden construir en nuestro idioma. ¿Cuántas pueden ser? ¿veinte millones? ¿sólo unos miles? ¿miles de millones? ¿trillones?... Quizás así, de improviso, no se te ocurra ninguna idea.

Parece ser que reuniendo todas las variantes locales, no llegaríamos a unos pocos cientos de miles de palabras usadas realmente (los diccionarios no suelen traer más de 90.000), pero aquí nos interesan las posibles palabras que podríamos inventar.

Objetivo del proyecto:

Estimar el número de palabras posibles que puede contener nuestro idioma.

Como el planteamiento es muy amplio, se deberían tener en cuenta estos detalles:

* Se puede acotar la estimación a palabras de no más de cinco sílabas. Si no, nos toparíamos con molestos infinitos.
* Es bueno que la estimación no se base sólo en técnicas de conteo. También se deben repasar los conceptos de sílaba directa, inversa o mixta, los diptongos y los triptongos.
* Lo normal es que en la puesta en común aparezcan grandes discrepancias en las estimaciones, lo que dará pie a discusión en grupo e incluso elección de la mejor estimación.


¿Qué podemos conseguir con esta experiencia?


* Estudio de las sílabas y palabras como objetos de un conteo
* Repaso de las técnicas de contar
* Asimilación del concepto de estimación y de orden de magnitud.
* Ejercitación en la puesta en común, muy necesaria en un tema que puede admitir variantes en resultados y métodos.
* Experimentación de concurrencias entre dos materias muy distintas, como la Gramática y la Combinatoria.
* Construcción de esquemas ordenados.

El proyecto podría tener estas fases:

Recuento de sílabas

La primera tarea podría consistir en contar el número posible de sílabas que comienzan con una letra determinada. No hay que ser muy exigentes en este primer paso, pero deberán considerar sílabas directas, mixtas e inversas en su caso. Por ejemplo, para la letra B se deberían considerar al menos estas: BA, BE, BI, BO, BU, BRA, BRE, BRI…BLA, BLE,…BAR, BER,..BAS, BES,…BAL,…BLAS, BLES,…BIA, BIAS, BUAI, BONS,…
No se trataría de realizar un estudio exhaustivo (imposible sin convenios previos), sino de aproximarnos al uso general de nuestro idioma. Es posible que se olviden sílabas como INS, TRANS, ABS,… pero no hay que darle importancia. Se trata de una estimación.


Se podrían contar mediante un producto cartesiano:


Este esquema nos una idea del número de sílabas que forma la B (sólo una aproximación)
1*8*5*12 = 40*12 = 480

Insistimos en que esta fase no ha de ser demasiado cuidadosa. Habrá letras que formen unas 480 sílabas y otras (como la A) que formen menos. Esto es lo bueno, que todo el planteamiento pueda ser discutido.

El mismo estudio que sugerimos sobre la B se podría repetir con las demás letras. Por simplificar, supongamos que el número medio de sílabas por letra fuera de 300 y que letras válidas en español contáramos 26. Ello nos daría una estimación de 7800 sílabas distintas.

Recuento de palabras

Seguimos con el producto cartesiano. El número de palabras entre una y cinco sílabas sería: 7800+78002+78003+78004+78005= 2,88754E+19
¿A que no esperabas que fueran tantas? Son trillones. Ahora te toca criticar esta estimación, pero reconocerás que no me van a faltar palabras para inventar con mi nieta.

Pasamos por alto que las sílabas inversas sólo aparecen en primer lugar. Se trata de dar una idea. Quizás a algún lector le apetezca realizar un estudio más fino.

Puesta en común

Este paso es imprescindible. Lo ideal sería efectuarlo con una PDI y libre discusión entre grupos. Puede durar una hora o más, pero no será tiempo perdido. No se trata de estimar mejor o peor, sino de llegar a una idea sobre el orden de magnitud y, lo que es más importante, a un intercambio de métodos.

Publicación

También este paso es insoslayable. Repito algo que siempre comento: No has aprendido un concepto si no sabes comunicarlo a otros. Se podrá efectuar en formato de documento o presentación, como una memoria de la experiencia o usando la web o el blog del centro.

Como siempre en este blog, no sugerimos nivel educativo ni momento idóneo para organizar este proyecto. El profesor jubilado no quiere opinar sobre ello. Todo eso queda ya un poco lejano.


 

 


 

Ver y Calcular

Suma de cuadrados de números triangulares
 

El estudio de cuestiones aritméticas deriva pronto a cálculos algebraicos, generalmente tediosos, y, en algunos casos, también a esquemas geométricos. Estos dos caminos, el algebraico y el visual se complementan perfectamente. Los números figurados, por su propia definición, son buenos elementos de unión entre ellos. Veamos un ejemplo cn números triangulares:

“Llamamos T(n) al enésimo numero natural. ¿Qué obtenemos si sumamos los cuadrados de un número triangular T(n) y de su siguiente T(n+1)?

Orientación algebraica


Conjetura: Diseñamos una tabla de números triangulares en una hoja de cálculo y en una columna adjunta calculamos la suma de cuadrados pedida para todos los casos posibles. Fácilmente se descubre una ley de formación. No indicamos el resultado, tan sólo que es un número triangular. ¿Cuál?

Cálculo: Mediante cálculos algebraicos se puede verificar la conjetura. Basta desarrollar la expresión y comprobar su resultado con el imaginado. En la imagen tienes un desarrollo efectuado con la calculadora Wiris. La conjetura está un poco escondida.

Orientación geométrica

Podemos atrevernos a pensar que si T(n) es un número triangular, su cuadrado se podrá representar por otro número triangular idéntico a él, pero sus elementos no serán puntos o bolitas, sino triángulos más pequeños. Sería “un triángulo de triángulos”.

Si no acertaste la conjetura por medio del Álgebra, esta imagen te la sugerirá con más facilidad. Las bolitas rojas corresponden al cuadrado de T(4) y las verdes al de T(3). Si no sientes una pequeña emoción al analizarla es que no te gustan de verdad las Matemáticas.



 

 

El fósil de un número

 

Hoy le damos vueltas a un problema leído en el blog http://problemate.blogspot.com/

El fósil de un número

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dado un número natural N, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de N. Por ejemplo, el fósil de 327 es 8. Hallar el mayor número natural, con todas sus cifras distintas, cuyo fósil sea impar.

La solución la puedes leer en

http://solumate.blogspot.com/2008/09/el-fsil-de-un-nmero.html,

y nosotros le daremos unas vueltas a la idea de “fósil” de un número.

(1) ¿Tienen fósil todos los números naturales?

Te lo puedes plantar en dos pasos:

(a) El algoritmo de multiplicar todas las cifras produce una sucesión estrictamente decreciente y llega a términos de una cifra.

(b) Sólo los números de una cifra son invariantes en el proceso.

(2) Construye un algoritmo de hoja de cálculo tal que dado un número natural, encuentre su fósil. Puedes restringirlo sólo a números de tres o cuatro cifras, pero ten en cuenta que si disminuye el número de cifras no pueden aparecer ceros, que arruinarían el cálculo. En el algoritmo de la imagen, cuando disminuye el número de cifras aparece la unidad, para no desvirtuar el producto.
 

 

(3) ¿Obtendríamos otro tipo de fósil si sumáramos las cifras en lugar de multiplicarlas?

(4) Se pueden aplicar estas ideas al aula si se restringe el estudio a tres cifras, por ejemplo. Se podrían formar grupos e intentar que cada uno, con calculadora u hoja de cálculo lograra todos los fósiles posibles entre 0 y 9, y después se discutieran algunos casos:

¿Cuándo el fósil resulta ser cero? ¿Qué crees que hay más, fósiles pares o impares? ¿Por qué siempre se desemboca en una cifra? Etc.