{"text_format":"1","workbook":"xlsx","n_sheets":4,"sheets":["Presentación","Comprobación Fermat","Comprobación Euler","Esbozo demostración"],"not_rendered":{"charts":0,"images":0,"macros":1,"external_links":0,"defined_names":0,"comments":0,"pivot_tables":0},"unopened":[],"bounds":{"document_bytes":16777216,"sheet_cells":100000,"rows_first":2000,"rows_last":500,"rows_between":2000,"halvings":0,"cell_chars":16384,"cell_head_chars":4096},"cells_cut":0,"cells_raw":0,"read":"whole","date_system":"1900"}

{"sheet":"Presentación","index":0,"n_rows":15,"n_cols":6,"rows_kept":15,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[1,2,1,8],[3,3,3,7],[13,4,13,6],[14,4,14,7]]}
["A. Roldán 2016"]
[null,null,"Apuntes interactivos con hoja de cálculo"]
[]
["La estructura y macros",null,null,"Teoremas de Fermat y Euler"]
["de estas hojas de apuntes"]
["pueden resultar vulnerables.",null,null,null,"Materia","Aritmética modular"]
["Si algo deja de funcionar,"]
["cierra la hoja y abre de nuevo.",null,null,null,"Nivel","Inicio a la Teoría de Números"]
[]
[null,null,"Estos apuntes sólo pretenden ayudar a comprender conceptos y procesos a través de esquemas."]
[null,null,"No sustituyen el aprendizaje teórico, que se debe emprender con otras herramientas"]
[]
[null,null,"Contenido",null,"Comprobación del Teorema de Fermat"]
[null,null,null,null,"Comprobación del Teorema de Euler"]
[null,null,null,null,"Esbozo de demostración del Teorema de Euler"]

{"sheet":"Comprobación Fermat","index":1,"n_rows":65,"n_cols":6,"rows_kept":65,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[19,1,19,2],[19,5,19,6],[22,1,22,2],[24,4,24,6],[1,2,3,7],[6,1,6,8],[7,1,7,8],[11,1,11,8],[14,1,14,8],[17,1,17,2],[17,5,17,6]]}
[]
[null,null,"Pequeño teorema de Fermat"]
[]
[]
[]
[]
[null,"Este teorema afirma lo siguiente:"]
[null,"Si m es primo y a no es múltiplo de m, es cierta la congruencia"]
[]
[]
[]
[null,"es decir, que a elevado al módulo menos 1 es congruente con la unidad."]
[]
[null,"Comprobación del teorema"]
[null,"Escribe un ejemplo de módulo primo m (menor que 40) y de otro número entero a que no sea múltiplo de m"]
[null,"Si los eliges mal, la hoja te lo advertirá"]
[]
[null,"Módulo primo m:",null,37,null,{"$f":"IF(esprim(D18),\"Es primo\",\"No es primo\")","v":"Es primo"}]
[]
[null,"Entero a",null,12,null,{"$f":"IF(D20/D18<>INT(D20/D18),\"Entero válido\",\"Entero no válido\")","v":"Entero válido"}]
[]
[]
[null,"Tabla de potencias"]
[]
[null,"X","ax",null,"Observa esta tabla"]
[null,1,{"$f":"MOD(D20,D18)","v":12}]
[null,2,{"$f":"MOD(C26*D$20,D$18)","v":33},null,"El valor 1 para ax se presenta entre otros valores en m-1"]
[null,3,{"$f":"MOD(C27*D$20,D$18)","v":26},null,"El 1 lo tienes destacado en fondo azul, y m-1 en fondo rosado"]
[null,4,16,null,"Con esto compruebas el teorema, porque se resaltarán ambos, el 1 y el m-1"]
[null,5,7]
[null,6,10,null,"Pueden aparecer más unos de forma cíclica"]
[null,7,9]
[null,8,34,null,"Los valores que recorre ax forman un grupo multiplicativo"]
[null,9,1,null,"cuyo orden es divisor del m-1 y por eso contienen el valor 1"]
[null,10,12]
[null,11,33,null,"Prueba ahora a elegir valores de a y m que no sean primos"]
[null,12,26,null,"entre sí, y observa que no se recorren todos los restos."]
[null,13,16]
[null,14,7]
[null,15,10]
[null,16,9]
[null,17,34]
[null,18,1]
[null,19,12]
[null,20,33]
[null,21,26]
[null,22,16]
[null,23,7]
[null,24,10]
[null,25,9]
[null,26,34]
[null,27,1]
[null,28,12]
[null,29,33]
[null,30,26]
[null,31,16]
[null,32,7]
[null,33,10]
[null,34,9]
[null,35,34]
[null,36,1]
[null,37,12]
[null,38,33]
[null,39,26]
[null,40,16]

{"sheet":"Comprobación Euler","index":2,"n_rows":69,"n_cols":7,"rows_kept":69,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[23,1,23,2],[23,5,23,6],[26,1,26,2],[15,1,15,8],[16,1,16,8],[1,2,3,7],[7,1,7,8],[8,1,8,8],[12,1,12,8],[21,1,21,2],[21,5,21,6]]}
[]
[null,null,"Teorema de Euler"]
[]
[]
[]
[null,null,"Es una generalización del anterior, pues  j(N)=m-1 si m es primo."]
[]
[null,"Este teorema afirma lo siguiente:"]
[null,"Si a y m son coprimos (MCD(a,m)=1) es cierta la congruencia"]
[]
[]
[]
[null,"es decir, que a elevado a la indicatriz de m es congruente con la unidad"]
[]
[null,"Recuerda:"]
[null,"La indicatriz de Euler de un número N, o función j(N), cuenta los números"]
[null,"menores que N y coprimos con él (se incluye el 1)"]
[null,"Comprobación del teorema"]
[null,"Escribe un ejemplo de módulo m  (menor que 40) y de otro número entero a coprimo con m"]
[null,"Si los eliges mal, la hoja te lo advertirá."]
[]
[null,"Módulo m:",null,16]
[]
[null,"Entero a",null,7,null,{"$f":"IF(GCD(D22,D24)=1,\"Entero válido\",\"Entero no válido\")","v":"Entero válido"}]
[]
[]
[null,"Tabla de potencias"]
[]
[null,"X","Es coprimo","Factor a","Potencia en Z/Zm",null,"Observa esta tabla"]
[null,1,{"$f":"IF(AND(GCD(B30,D$22)=1,B30<D$22),1,\" \")","v":1},{"$f":"IF(C30=1,D$24,\" \")","v":7},{"$f":"D30","v":7}]
[null,2,{"$f":"IF(AND(GCD(B31,D$22)=1,B31<D$22),1,\" \")","v":" "},{"$f":"IF(C31=1,D$24,\" \")","v":" "},{"$f":"IF(C31=1,MOD(E30*D$24,D$24),E30)","v":7},null,"La primera columna contiene la sucesión  de naturales"]
[null,3,1,7,{"$f":"IF(C32=1,MOD(E31*D$24,D$22),E31)","v":1},null,"La segunda asigna un 1 a los coprimos con m menores que él"]
[null,4," "," ",{"$f":"IF(C33=1,MOD(E32*D$24,D$22),E32)","v":1},null,"La tercera escribe el valor de a sólo cuando la anterior presenta un 1"]
[null,5,1,7,7]
[null,6," "," ",7,null,"Indicatriz: cuenta los 1"]
[null,7,1,7,1]
[null,8," "," ",1,null,{"$f":"COUNT(C30:C69)","v":8}]
[null,9,1,7,7]
[null,10," "," ",7,null,"Potencia: Eleva el valor de a la indicatriz en el grupo Z/Zm"]
[null,11,1,7,1,null,"Se construye en la cuarta columna multiplicando cada vez por a y hallando el resto módulo m"]
[null,12," "," ",1,null,"La última potencia siempre será 1, según afirma el Teorema."]
[null,13,1,7,7,null,"Se construye así para evitar el desbordamiento o el uso de coma flotante."]
[null,14," "," ",7]
[null,15,1,7,1]
[null,16," "," ",1]
[null,17," "," ",1]
[null,18," "," ",1]
[null,19," "," ",1]
[null,20," "," ",1]
[null,21," "," ",1]
[null,22," "," ",1]
[null,23," "," ",1]
[null,24," "," ",1]
[null,25," "," ",1]
[null,26," "," ",1]
[null,27," "," ",1]
[null,28," "," ",1]
[null,29," "," ",1]
[null,30," "," ",1]
[null,31," "," ",1]
[null,32," "," ",1]
[null,33," "," ",1]
[null,34," "," ",1]
[null,35," "," ",1]
[null,36," "," ",1]
[null,37," "," ",1]
[null,38," "," ",1]
[null,39," "," ",1]
[null,40," "," ",1]

{"sheet":"Esbozo demostración","index":3,"n_rows":25,"n_cols":7,"rows_kept":25,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[1,2,3,7],[7,2,7,3],[9,2,9,3],[9,6,9,7]]}
[]
[null,null,"Teorema de Euler"]
[]
[]
[]
[null,null,null,"Esbozo de demostración"]
[null,null,null,null,null,null,"Escribe números pequeños, menores que 20"]
[null,null,"Módulo m:",null,18,null,"para que puedas seguir mejor las ideas."]
[]
[null,null,"Entero a",null,5,null,{"$f":"IF(GCD(E8,E10)=1,\"Entero válido\",\"Entero no válido\")","v":"Entero válido"}]
[]
[null,null,"Nos basamos en dos hechos:"]
[null,null," * Si un sistema completo de restos se multiplica por un factor coprimo con el módulo, resulta otro sistema completo"]
[null,null," * Si en la igualdad ax≡ay y el entero a es coprimo con el módulo (inversible), entonces x≡y"]
[null,null,"Pulsa el botón para que aparezcan todos los restos coprimos con el módulo, incluido el 1."]
[]
[null,null,"Restos coprimos","Producto por a",null,"Observa que las dos columnas contienen los mismos restos en distinto orden"]
[null,null,1,5,null,"Luego sus productos serán iguales"]
[null,null,5,7,null,"Ahora bien, el final de la primera columna es el producto P de los restos"]
[null,null,7,17,null,"El de la segunda columna es A elevado a la indicatriz multiplicado por P"]
[null,null,11,1,null,"es decir, P≡aj(m)P"]
[null,null,13,11,null,"Pero P es inversible, por ser producto de inversibles, y se puede simplificar."]
[null,null,17,13,null,"Luego a elevado a la indicatriz ha de ser congruente con 1"]
[null,"Productos",17,17]
[null,null,null,null,null,null,"aj(m)≡1"]