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 Colaboración con OEIS

Periódicamente, cuando descubramos secuencias enteras de interés, las publicaremos en la página web The On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

Para un desarrollo más extenso de cada sucesión y su clasificación temática ver la publicación Sucesiones.

 

Secuencias publicadas

(Por orden decreciente de fechas y número de orden)

 

(101) A282241

Números que son suma de 3 distintos cuadrados positivos de dos formas diferentes con diferencias simétricas: a(n) = (p-a)^2+p^2+(p+b)^2 = (q-b)^2+q^2+(q+a)^2, p, q, a, b, enteros positivos, a<b, p<q.

62, 89, 101, 122, 134, 146, 150, 161, 173, 185, 189, 203, 206, 209, 218, 230, 234, 248, 254, 257, 266, 269, 270, 278, 281, 285, 299, 305, 314, 317,...

Ejemplo

122 = (5-1)^2+5^2+(5+4)^2 = (7-4)^2+7^2+(7+1)^2, con diferencias simétricas 1 y 4.

 

(100) A276565

Números oblongos n tales que n-1 y n+1 son ambos semiprimos

56, 552, 870, 1056, 1190, 1640, 1892, 2652, 4032, 5256, 5402, 6806, 8372, 9120, 9506, 9702, 10920, 11772, 12656, 12882, 15006, 15252,...

Ejemplo

1640 es oblongo (1640 = 40*41) y 1639 = 11*149, 1641 = 3*547 son ambos semiprimos.

 

(99) A276564

Potencias perfectas n tales que n-1 y n+1 son ambos semiprimos

144, 216, 900, 1764, 2048, 3600, 10404, 11664, 39204, 97344, 213444, 248832, 272484, 360000, 656100, 685584, 1040400, 1102500, 1127844, 1633284, 2108304, 2214144,...

Ejemplo

2048 = 2^11, y ambos 2047 = 23*89 y 2049 = 3*683 son semiprimos.

 

 

(98) A275384

Números compuestos libres de cuadrados cuya media de factores primos es entera.

15, 21, 33, 35, 39, 42, 51, 55, 57, 65, 69, 77, 78, 85, 87, 91, 93, 95, 105, 110, 111, 114, 115, 119, 123, 129, 133, 141, 143, 145, 155, 159, 161, 170, 177, 183, 185, 186,...

Ejemplo

170 pertenece a la sucesión porque 170=17*2*5 (libre de cuadrados) y (17+2+5)/3 = 8 es entera.

 

(97) A272309

Semiprimos que con el siguiente semiprimo dan diferencia prima

4, 6, 22, 26, 35, 39, 46, 49, 55, 62, 69, 74, 77, 82, 91, 95, 106, 115, 119, 134, 143, 155, 159, 161, 166, 178, 183, 185, 187, 194, 203, 206, 215,...

Ejemplo

39 pertenece a la sucesión porque 39 = 3*13, el siguiente semiprimo es 46 = 2*23, y 46-39 = 7 es primo.

 

(96) A272308

Semiprimos que con el siguiente semiprimo dan suma prima

9, 14, 21, 22, 26, 33, 35, 62, 74, 82, 86, 115, 141, 155, 158, 226, 259, 267, 295, 326, 346, 358, 362, 393, 417, 453, 482, 623, 703, 718, 734, 771,...

Ejemplo

26 pertenece a la sucesión porque 26 = 2*13, el siguiente semiprimo es 33 = 3*11, y 26+33 = 59 es primo.

 

(95) A272307

Semiprimos que con el siguiente semiprimo dan diferencia también semiprima

10, 15, 51, 58, 65, 87, 111, 123, 129, 146, 209, 226, 237, 249, 274, 278, 291, 305, 335, 346, 365, 371, 377, 382, 403, 407, 427, 447, 454, 485, 489,...

Ejemplo

65 pertenece a la sucesión porque 65 = 5*13, el siguiente semiprimo es 69 = 3*23, y 69-65 = 4 = 2*2, es también  semiprimo.

 

 

(94) A272306

Semiprimos que con el siguiente semiprimo dan suma también semiprima

4, 6, 25, 34, 38, 39, 46, 51, 57, 65, 69, 77, 87, 93, 95, 106, 111, 118, 129, 133, 145, 146, 161, 166, 169, 177, 178, 187, 194, 201, 205, 206, 209,...

Ejemplo

51 pertenece a la sucesión porque 51 = 3*17, el siguiente semiprimo es 55 = 5*11, y 51+55 = 106 = 2*53, es también  semiprimo.

 

 

(93) A271101

Semiprimos libres de cuadrados tales que la media de sus factores primos es prima

21, 33, 57, 69, 85, 93, 129, 133, 145, 177, 205, 213, 217, 237, 249, 253, 265, 309, 393, 417, 445, 469, 489, 493, 505, 517, 553, 565, 573, 597, 633,...

Ejemplo

133 pertenece a la sucesión porque 133=7*19, y (7+19)/2=13 es primo.

 

 

(92) A263676

Números que son simultáneamente interprimos y oblongos

6, 12, 30, 42, 56, 72, 240, 342, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 870, 1056, 1190, 1482, 1722, 1806, 2550, 2652, 2970, 3540, 4422, 6320, 7140, 8010, 10302, 12656, 13572,...

Ejemplo

342 pertenece a la sucesión porque 342 = 18*19 es oblongo, y 342 = (337 + 347)/2, con 337 y 347 primos consecutivos.

 

(91) A263675

Números que son simultáneamente interprimos y potencias no triviales de primos.

4, 9, 64, 81, 625, 1681, 4096, 822649, 1324801, 2411809, 2588881, 2778889, 3243601, 3636649, 3736489, 5527201, 6115729, 6405961, 8720209, 9006001, 12752041, 16056049, 16589329,...

Ejemplo

625 pertenece a la sucesión porque 625 = 5^4, potencia de primo, y 625 = (619+631)/2, con 619 y 631 primos consecutivos.

 

(90) A263674

Dobles interprimos: a(n) = (q+r)/2 = (p+s)/2 con p<q<r<s primos consecutivos.

9, 12, 15, 18, 30, 42, 60, 81, 102, 105, 108, 120, 144, 165, 186, 195, 228, 260, 270, 312, 363, 381, 399, 420, 426, 441, 462, 489, 495, 552, 570, 582, 600, 696, 705, 714, 765, 816, 825,...

Ejemplo

600 pertenece a la sucesión porque 593, 599, 601 y 607 son primos consecutivos, y 600 = (599+601)/2 = (593+607)

 

(89) A262723

Productos de tres primos distintos que forman progresión aritmética.

105, 231, 627, 897, 935, 1581, 1729, 2465, 2967, 4123, 4301, 4715, 5487, 7685, 7881, 9717, 10707, 11339, 14993, 16377, 17353, 20213, 20915, 23779, 25327, 26331, 26765, 29341, 29607, 32021, 33335, 40587, 40807, 42911...

Ejemplo

627 pertenece a la sucesión porque 627=3*11*19, y 3, 11, 19 forman progresión aritmética (11-3 = 19-11).

 

 

(88) A258276

Números esfénicos (producto de tres primos distintos) y equilibrados: son esfénicos (A007304(n)) que coinciden con el promedio del esfénico anterior y del siguiente.

186, 370, 406, 418, 518, 582, 602, 710, 786, 814, 826, 830, 942, 978, 994, 1010, 1034, 1070, 1162, 1310, 1374, 1394, 1570, 1630, 1686, 1758, 1886, 1978, 2014, 2114, 2158, 2270, 2274, 2278, 2294, 2438, 2510, 2534, 2570, 2630, 2666, 2690, 2774, 2778, 2782, 2806...

Ejemplo

406 pertenece a la sucesión porque 406 = A007304(45) = (402+410)/2 = (A007304(44) + A007304(46))/2.

 

 

(87) A256705

 

Números tales que si definimos f(n,m) por recurrencia f(n,1)=n, f(n,k+1)= A007672(n,k), la subsucesión  f(n,k), con n constante, tiene periodo dos a partir de un índice.

9, 16, 25, 45, 49, 63, 75, 80, 81, 99, 112, 117, 121, 125, 128, 147, 153, 169, 171, 175, 176, 207, 208, 225, 243, 245, 250, 256, 261, 275, 279, 289, 304, 315, 325, 333, 343, 361, 363, 368, 369, 375...

Ejemplos

16 pertenece a la sucesión porque f(16,1) = 16, f(16,2) = A007672(16) = 45, f(16,3) = A007672(45) = 16, f(16,4) = A007672(16) = 45, ..., presenta periodo 2.

15 no pertenece, ya que  f(15,1) = 15, f(15,2) = A007672(15) = 8, f(15,3) = A007672(8) = 3, f(15,4) = A007672(3) = 2, f(15,5) = A007672(2) = 1, f(15,6) = A007672(1) = 1, ..., desemboca en la constante 1.

 

 

 

(86) A007672

 

Añadido de un algoritmo en PARI

(PARI) a(n)={local(m=1, x=n, as=1, p); while(x>1, m++; p=gcd(x, m); x=x/p; as*=m/p); as} \\ Antonio Roldán Apr 04 2015

 

 

(85) A256152

 

Números semiprimos con factores distintos, cuya suma de divisores es cuadrada.

22, 94, 115, 119, 214, 217, 265, 382, 497, 517, 527, 679, 745, 862, 889, 1174, 1177, 1207, 1219, 1393, 1465, 1501, 1649, 1687, 1915, 1942, 2101, 2159, 2201, 2359, 2899, 2902, 2995, 3007...

Ejemplo

119 es producto de dos primos diferentes (119=7*17) y sus divisores suman 8*18=144=12^2 (un cuadrado).

 

 

(84) A256151

 

Números triangulares con suma de divisores cuadrada

1, 3, 66, 210, 820, 2346, 4278, 22578, 27966, 32131, 35511, 51681, 53956, 102378, 169653, 173755, 177906, 223446, 241860, 256686, 306153, 310866, 349866, 431056, 434778, 470935, 491536, 512578, 567645, 579426, 688551, 799480, 845650, 893116, 963966, 1031766...

Ejemplo

3=2*3/2 es triangular, y la suma de sus divisores 1+3=4=2^2, un cuadrado.

 

 

(83) A256150

 

Números oblongos con suma de divisores triangular

2, 12, 56, 342, 992, 16256, 17822, 169332, 628056, 1189190, 2720850, 11085570, 35599122, 67100672, 1147210770, 1317435912, 1707135806, 7800334080, 11208986256, 13366943840, 17109032402, 17179738112, 46343540900, 58413331032, 83717924940, 204574837700...

Ejemplo

2=1*2 es oblongo, y sus divisores suman 1+2=3=2*3/2, que es un número triangular.

 

 

(82) A256149

 

Números cuadrados con suma de divisores triangular

1, 36, 441, 5625, 6084, 407044, 8444836, 17388900, 35070084, 40729924, 57790404, 80138304, 537822481, 588159504, 659821969, 918999225, 1820387556, 2179862721, 2599062361, 5110963081, 28816420516, 36144473689, 46082779561, 55145598561...

Ejemplo

441 es un cuadrado (441 = 21^2) y sus divisores suman 441 + 147 + 63 + 49 + 21 + 9 + 7 + 3 + 1 = 741 = 38*39/2, que es triangular.

 

(81) A253653

 

Números triangulares que son producto de un cuadrado y un número primo.

3, 28, 45, 153, 171, 300, 325, 496, 2556, 2628, 3321, 4753, 4851, 7381, 8128, 13203, 19900, 25200, 25425, 29161, 29403, 56953, 64980, 65341, 101025, 166753, 195625, ...

Ejemplo

45 es triangular (45 = 9*10/2) y 45 = 9*5, con 9 cuadrado y 5 primo.

 

(80) A253652

 

Números triangulares que son producto de un triangular y un número oblongo.

6, 36, 120, 210, 300, 630, 1176, 2016, 3240, 3570, 4950, 7140, 7260, 10296, 14196, 19110, 23436, 25200, 32640, 39060, 41616, 52326, 61776, 64980, 79800, 97020, ...

Ejemplo

630 es triangular (630 = 35*36/2) y 630 = 105*6, con 105 = 14*15/2, triangular, y
6 = 2*3, oblongo.

 

(79) A253651

 

Números triangulares que son producto de un triangular y un número primo.

3, 6, 15, 21, 45, 66, 78, 105, 190, 210, 231, 435, 465, 630, 861, 903, 1035, 1326, 2415, 2556, 2628, 3003, 3570, 4005, 4950,...

Ejemplo

190 es triangular (190=19*20/2) y 190=10*19, con 10 triangular  y 9 primo.

 

 

(78) A253650

 

Números triangulares que son producto de un triangular y un cuadrado ambos mayores que 1

300, 1176, 3240, 7260, 14196, 25200, 29403, 41616, 64980, 97020, 139656, 195000, 228150, 265356, 353220, 461280, 592416, 749700, 936396, 1043290, 1155960, 1412040, ...

Ejemplo

3240 es un número triangular (3240=80*81/2), y 3240=10*324=(4*5/2)*(18^2), producto del triangular 10 y el cuadrado 324.

 

 

(77) A249676

Números que con su anterior primo producen suma prima y con el siguiente también.

6, 30, 50, 144, 300, 560, 610, 650, 660, 714, 780, 810, 816, 870, 1120, 1176, 1190, 1806, 2130, 2470, 2490, 2550, 2922, 3030, 3240,...

Ejemplo

610 cumple ambas condiciones, 610+613=1223, primo, y 610+607=1217. Además, las diferencias 610-607 y 613-610 son iguales.

 

(76) A249667

Números que con su anterior primo producen suma prima y con el siguiente también.

6, 24, 30, 36, 50, 54, 78, 84, 114, 132, 144, 156, 174, 210, 220, 252, 294, 300, 306, 330, 360, 378, 474, 492, 510, 512, 528, 546, 560, 594,...

Ejemplo

114 está en la sucesión, porque su anterior primo es 113 y 113+114=227 es primo, y con su siguiente primo 127 ocurre lo mismo: 114+127=241

 

(75) A249666

Números que con su anterior primo producen suma prima

3, 4, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 42, 46, 50, 54, 56, 66, 70, 76, 78, 84, 90, 92, 100, 114, 116, 120, 126, 130, 132, 142, 144, 156,...

Ejemplo

66 está en la sucesión, porque su anterior primo es 61 y 61+66=127 es primo.

 

(74) A249624

Números que con su próximo primo producen suma prima

0, 1, 2, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 34, 36, 38, 48, 50, 54, 64, 68, 78, 80, 84, 94, 96, 98, 104, 110, 114, 124, 132, 134, 138, 144,...

Ejemplo

50 está en la sucesión, porque su próximo primo es 53 y 50+53=103 es primo.

 

(73) A242387

El menor de pares números primos consecutivos cuya media es un número palindrómico.

3, 5, 7, 97, 109, 281, 359, 389, 409, 509, 631, 653, 691, 743, 827, 857, 907, 937, 967, 1549, 2111, 2767, 4219, 4441, 7001, 9007, 9337, 9661,…

Ejemplo

389 cumple que es primo y su siguiente es 397. Su media (389+397)/2=393 es palindrómica.

 

 

(72) A242386

El menor de pares números primos consecutivos cuya suma es un número palindrómico.

2, 3, 109, 211, 347, 409, 1051, 1493, 2111, 2273, 3167, 4219, 4441, 10099, 10853, 10903, 11353, 11909, 12823, 12973, 13421, 13831, 14543, 14639, 20551, 21011,…

Ejemplo

2111 pertenece a la sucesión porque forma par con 2113 y 2111 + 2113 = 4224, número palindrómico.

 

(71) A242385

El menor de pares números primos consecutivos cuya media es un número del tipo n(n+2) para algón entero n.

13, 97, 113, 193, 283, 397, 479, 673, 953, 1439, 1597, 2297, 2699, 3469, 4219, 4483, 5323, 7219, 8273, 9209, 9403, 10799, 12097, 13219, 14879, 15373, 15619, 21313, 23399,…

Ejemplo

193 pertenece porque es primo y su consecutivo es 197: (193+197)/2 = 195 = 13*(13+2).

 

 

(70) A242384

El menor de pares números primos consecutivos cuya suma es un número del tipo n(n+2) para algún entero n.

3, 11, 59, 139, 179, 311, 419, 541, 919, 1399, 1621, 2111, 3119, 5099, 6379, 8059, 8839, 9377, 15661, 16007, 16741, 17107, 21011, 21839, 23539, 24419, 28081, 30011, …

Ejemplo

311 está incluido porque es primo y su siguiente primo es 313: 311+313=624=24*(24+2).

 

 

(69) A242383

El menor de pares números primos consecutivos cuya media es un número oblongo

5, 11, 29, 41, 53, 71, 239, 337, 419, 461, 503, 547, 599, 647, 863, 1051, 1187, 1481, 1721, 1801, 2549, 2647, 2969, 3539, 4421, 6317, 7129, 8009, 10301, 12653, 13567, 14033, 17291, …

Ejemplo

53 pertenece a la sucesión: Es primo y  nextprime(53) = 59, luego (53+59)/2 = 56 =8*7, número oblongo

 

 

(68) A242382

El menor de pares números primos consecutivos cuya media es un cubo

61, 1723, 4093, 17573, 21943, 46649, 110587, 195103, 287491, 314423, 405221, 474547, 1061189, 1191013, 1404919, 1601609, 1906621, 2000371, 2146687, 2196979, 3241783, 3511799, 4912991…

Subsucesión de A077037 y A242380.

Ejemplo

1723 está en la sucesión: Es primo y su consecutivo 1733. Su media es 1728 = 12^3.

 

 

(67) A242380

El menor de pares números primos consecutivos cuya media es una potencia perfecta

3, 7, 61, 79, 139, 223, 317, 439, 619, 1087, 1669, 1723, 2593, 3593, 4093, 5179, 6079, 8461, 12541, 13687, 16633, 17573, ...

 Supersucesión de A225195 y de A242382.

Ejemplo: 4093 pertenece a la sucesión porque 4093 y 4099 son números primos consecutivos y (4093+4099)/2=4096=2^12.

 

(66) A240593

El más pequeño de un par de números compuestos libres de cuadrados (A120944) entre los que no existe ningún primo.
14, 21, 33, 34, 38, 55, 57, 62, 65, 69, 74, 77, 85, 86, 91, 93, 94, 105, 110, 114, 115, 118, 119, 122, 129, 133, 141, 142, 143, 145, 154, 158, 159, 165, 174, 177, 182, 183,…
Es una supersucesión de A121495.
Ejemplo: 62 pertenece a la sucesión porque A120944(20)=62, A120944(21)=65, sin primos entre ellos

  

(65) A240592                    

 

 

Número de primos comprendidos entre dos compuestos libres de cuadrados consecutivos (A120944).    

 

 

1, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 2,

 

 

Ejemplo:  a(4) es 2 porque A120944(4)=15, A120944(5)=21, 2 primos entre ellos: 17 and 19.

 

 

 

(64) A240591        

 

El menor de un par de números poderosos (A001694) consecutivos sin primos entre ellos.

 

8, 25, 32, 121, 288, 675, 1331, 1369, 1936, 2187, 2700, 3125, 5324, 6724, 9800, 10800, 12167, 15125, 32761, 39200, 48668, 70225, 79507, 88200, 97336, 107648, 143641, 156800, …

 

Supersucesión de A060355.

 

Ejemplo: 25 pertenece a la sucesión porque A001694(6)=25, A001694(7)=27, sin primos entre ellos.

 

 

 

(63) A240590     

               

 

Números de primos entre dos poderosos (A001694(n)) consecutivos.

 

2, 2, 0, 2, 3, 0, 2, 0, 4, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 0, 1, 3, 5, 5, 2, 1, 1, 5, 1, 7, 0, 5, 2, 4, 5, 1, 5, 2, 7, 3, 2, 2, 6, 9, 4, 4, 0, 7, 8, 2, 7, 4, 4, 8, 1, 1, 4, 4, 9, 7,

 

Ejemplo:         

 

a(9) = 4 porque A001694(9) = 36, A001694(10) = 49, y existen 4 primosmentre ellos: 37, 41, 43 and 47.

 

 

 

(62) A237881

a(n) = Valuación diádica de prime(n)+prime(n+1)

0, 3, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 7, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 2, 2, 6,...

Ejemplo: a(5)=3 porque prime(5)=11, Prime(6)=13, 11+13=24=2^3*3, 2-valuación(24)=3.



(61) A232893

Números cuya suma de divisores cuadrados es un palíndromo en base 10 de al menos dos cifras.

15376, 30752, 46128, 76880, 92256, 107632, 153760, 169136, 199888, 215264, 230640, 261392, 292144, 322896, 338272, 353648, 399776, 445904, 461280, 476656, 507408, 522784, 538160, 568912, 584288, 599664, 630416, 645792, 661168, 707296, 722672, 784176, 814928, 845680, 876432

Ejemplo: Suma de los divisores cuadrados de 15376, 15376+3844+961+16+4+1=20202, es un palíndromo de cinco cifras

 

 

(60) A232892

Números cuya suma de divisores cuadrados propios es un palíndromo en base 10 de al menos dos cifras.

144, 324, 1089, 1936, 5929, 13225, 30752, 46128, 58564, 76880, 92256, 107632, 125316, 138384, 149769, 153760, 154449, 169136, 199888, 215264, 230640, 261392, 292144, 322896, 338272, 342225, 353648, 378225, 399776, 405769, 445904, 461280, 476656, 507408, 522784, 538160, 568912

Ejemplo: Suma de divisores cuadrados de 324: 81+36+9+4+1=131 es un palíndromo de tres cifras

 

 

(59) A232557

Números cuadrados cuya suma de divisores cuadrados propios es también un cuadrado mayor que 1

 

900, 4900, 10404, 79524, 81796, 417316, 532900, 846400, 1542564, 2464900, 3232804, 3334276, 3496900, 12432676, 43850884, 50836900, 51811204, 71470116, 107453956,

Ejemplo: 10404 = 102^2 es un cuadrado. La suma de sus divisores cuadrados propios es 2601 + 1156 + 289 + 36 + 9 + 4 + 1 = 4096 = 64^2.

 

(58) A232556

Números cuya suma de divisores cuadrados propios es también un cuadrado mayor que 1

 

900, 3528, 4900, 5292, 8820, 10404, 10584, 12348, 17640, 19404, 22932, 24696, 26460, 29988, 33516, 37044, 38808, 40572, 45864, 51156, 52920, 54684, 58212, 59976, 61740, 65268, 67032, 68796, 72324, 74088, 75852, 79524, 81144,...

Ejemplo: Suma de divisores cuadrados propios de 5292: 1764+441+196+49+36+9+4+1 = 2500 = 50^2 is un cuadrado. 
 

 

 

(57) A232555

Números no cuadrados cuya suma de divisores cuadrados propios es también un cuadrado mayor que 1

 

3528, 5292, 8820, 10584, 12348, 17640, 19404, 22932, 24696, 26460, 29988, 33516, 37044, 38808, 40572, 45864, 51156, 52920, 54684, 58212, 59976, 61740, 65268, 67032, 68796, 72324, 74088, 75852, 81144, 82908, 89964, 93492

Ejemplo: 8820 no es cuadrado. La suma de sus divisores cuadrados propios es 1764 + 441 + 196 + 49 + 36 + 9 + 4 + 1 = 2500 = 50^2. 
 

 

 

(56) A232554

Números cuadrados cuya suma de divisores cuadrados es también un cuadrado

 

1, 1764, 60516, 82369, 529984, 2056356, 2798929, 3534400, 18181696, 38900169, 96020401, 97121025, 335988900, 455907904, 457318225, 617820736, 1334513961, 1599200100, 2176689025, 3279852900, 4464244225, 8586616896, 15688815025, 24514164900, 33366502225

Ejemplo: 60516=246^2. Suma de divisores cuadrados: 60516 + 15129 + 6724 + 1681 + 36 + 9 + 4 + 1=84100=290^218697
 

 

(55) A232554

Números cuadrados cuya suma de divisores cuadrados es también un cuadrado

 

1, 1764, 60516, 82369, 529984, 2056356, 2798929, 3534400, 18181696, 38900169, 96020401, 97121025, 335988900, 455907904, 457318225, 617820736, 1334513961, 1599200100, 2176689025, 3279852900, 4464244225, 8586616896, 15688815025, 24514164900, 33366502225

Ejemplo: 60516=246^2. Suma de divisores cuadrados: 60516 + 15129 + 6724 + 1681 + 36 + 9 + 4 + 1=84100=290^218697
 

 

(54) A232189

Números k con las mismas cuatro últimas cifras  que p, siendo primo(k)=p.

 

9551, 15103, 18697, 23071, 24833, 48229, 53853, 58681, 83819, 91617, 93909, 107647, 115259, 120487, 126497, 156991, 160681, 162857, 177477, 181833, 189143, 194229, 208679, 213703, 221569, 223047, 225191, 229499, 252247, 259379, 270701, 274247, 276381, 279919, 280599

Ejemplo: 18697 y primo(18697)= 208697, terminan ambos en 8697.
 

(53) A232188

Primos k con las mismas cuatro últimas cifras  que k, siendo primo(k)=p.

99551, 165103, 208697, 263071, 284833, 588229, 663853, 728681, 1073819, 1181617, 1213909, 1407647, 1515259, 1590487, 1676497, 2116991, 2170681, 2202857, 2417477, 2481833, 2589143, 2664229

Fórmula: a(n) = prime(A232189(n)).

Ejemplo: 15103 y prime(15103)=165103, terminan ambos en 5103.

 

(52) A232104

Primos k con las mismas tres últimas cifras  que k, siendo primo(k)=p.

12491, 14723, 39119, 42437, 63347, 69931, 79817, 99551, 129083, 135637, 147647, 165103, 183637, 190181, 208697, 228281, 258743, 263071, 271787, 284833, 296753, 297833, 302173, 304349, 314129, 340201, 341287, 344543, 351059, 357563, 391163

Fórmula: a(n) = prime(A067841(n)).

Ejemplo: 1723, y prime(1723)= 14723, terminan ambos en 723.

 

(51) A232102

Primos k con las mismas dos últimas cifras  que k, siendo primo(k)=p.

1543, 3719, 4289, 5303, 5641, 6323, 7001, 7559, 7673, 8233, 8681, 9697, 9923, 12043, 12377, 12491, 12941, 14723, 14951, 15511, 15959, 17627, 17959, 18521, 21739, 21851, 21961, 22961, 24847, 25733, 26177, 28279, 29723, 30491, 31489, 32261, 34259, 34483

Fórmula: a(n) = prime(A067838(n)).

Ejemplo: 243 y prime(243)=1543, terminan ambos en 43.

 

(50) A230357

Números N cuya suma de cifras coincide con la de sopf(n) (suma de factores primos tomados sin repetición)


21, 22, 94, 105, 114, 136, 140, 160, 166, 202, 222, 234, 250, 265, 274, 346, 355, 361, 382, 424, 438, 445, 454, 516, 517, 526, 532, 562, 634, 702, 706, 712, 732, 812, 913, 915, 922, 1036, 1071, 1086, 1111, 1116, 1122, 1138, 1165, 1185, 1204, 1206, 1219, 1221, 1230, 1239, 1255, 1282, 1312,...

Ejemplo

166=2*83. Sopf(166)=85. Digit_sum(166)=13, digit_sum(85)=13.

 

(49) A230356

Números no cuadrados cuya suma de cifras coincide con la de su parte libre de cuadrados


10, 18, 27, 40, 45, 54, 63, 72, 90, 108, 117, 126, 135, 153, 160, 162, 171, 180, 207, 216, 220, 234, 243, 250, 252, 261, 270, 304, 306, 315, 333, 342, 351, 360, 405, 414, 423, 432, 450, 490, 504, 513, 522, 531, 540, 603, 612, 621, 630, 640, 702, 711, 720, 801,...

Ejemplo

135=2^3*5. Parte cuadrada de 135 es 9. Digit_sum(135)=9, digit_sum(9)=9

 

(48) A230355

Números no libres de cuadrados cuya suma de cifras coincide con la de su parte cuadrada


12, 24, 60, 100, 120, 132, 150, 156, 200, 204, 228, 240, 264, 276, 300, 320, 348, 372, 420, 500, 516, 552, 600, 624, 636, 660, 700, 708, 732, 744, 780, 912, 1000, 1014, 1050, 1056, 1068, 1092, 1100, 1128, 1164, 1200, 1212, 1216, 1236

Ejemplo

La parte libre de cuadrados de 624=2^4*3*13 es 39. Digit_sum(624)=12, digit_sum(39)=12

 

(47) A230354

Números pares cuya suma de cifras coincide con las de su mayor divisor impar


12, 18, 36, 54, 60, 72, 90, 108, 126, 132, 144, 156, 162, 180, 198, 204, 216, 228, 234, 240, 252, 270, 276, 306, 320, 324, 342, 348, 360, 372, 378, 396, 414,... 

Ejemplo

El mayor divisor impar de 162 es 81. Digit_sum(162)=9, digit_sum(81)=9

 

(46) A226789

Números triangulares formados por la concatenación de n+1 con n


21, 26519722651971, 33388573338856, 69954026995401, 80863378086336

Son los únicos resultados menores que 10^20

Ejemplo

26519722651971 es la concatenación de 2651972 y 2651971 y es triangular, porque 26519722651971 = 7282818*7282819/2

 

(45) A226788

Números triangulares formados por la concatenación de n con n+1

45, 78, 4950, 5253, 295296, 369370, 415416, 499500, 502503, 594595, 652653, 760761, 22542255, 49995000, 50025003, 88278828, 1033010331, 1487714878, 4999950000, 5000250003, 490150490151, 499999500000, 500002500003, 509949509950

Ejemplo

Si n=295, n+1=296, n//n+1 = 295296 = 768*769/2, es un número triangular.

 

(44) A226772

Números triangulares formados por la concatenación de n con 2n

36, 1326, 2346, 3570, 125250, 223446, 12502500, 22234446, 1250025000, 2066441328, 2222344446, 2383847676, 3673573470, 125000250000, 222223444446, 5794481158896, 12500002500000, 12857132571426, 22222234444446

Ejemplo

Si n=23, 2n=46, n//2n = 2346 = 68*69/2, es un número triangular.

 

(43) A226742

Números triangulares formados por la concatenación de 2n con n

21, 105, 2211, 9045, 222111, 306153, 742371, 890445, 1050525, 22221111, 88904445, 107905395, 173808690, 2222211111, 8889044445, 12141260706, 15754278771, 222222111111, 888890444445, 22222221111111, 36734701836735, 65306123265306...

Ejemplo

Si n=111, 2n=222, 2n//n = 222111 = 666*667/2, es un número triangular.

 

(42) A225882

Números N cuya parte libre coincide con la suma de los divisores cuadrados propios de N

20, 90, 336, 650, 5440, 7371, 13000, 14762, 28730, 30240, 83810, 87296, 130682, 147420, 218400, 280370, 295240, 406875, 708122, 924482, 1397760, 1875530, 2613640, 3536000, 4881890, 4960032, 5884851, 7856640, 7893290...

También se definen como aquellos números que coinciden con el producto de su mayor divisor cuadrado propio por la suma de los divisores cuadrados propios.

Si p es primo y  p^2+1 libre de cuadrados, entonces p^2*(p^2+1) pertenece a la sucesión.

Ejemplo

13000 es un término porque  core(13000) = 130 = 100 + 25 + 4 + 1.

 

(41) A225881

Números N que coinciden con el producto de su mayor divisor triangular propio por la suma de todos los divisores triangulares propios.

285, 5016, 24021, 142350, 145665, 154602, 204450, 318912, 474192, 843402, 1196690, 1283664, 1670250, 2739021, 3412950, 4255776, 5052135, 6054880, 6272140, 6433440, 6493728, 6650712...

Ejemplo

5016 = 66*(66+6+3+1)

 

 

 (40) A225880

 

Números que coinciden con el producto de su mayor divisor impar propio por la suma de todos los divisores impares propios

 

12, 56, 672, 992, 11904, 16256, 55552, 195072, 666624, 910336, 10924032, 16125952, 67100672, 193511424, 805208064, 903053312, 3757637632, 10836639744, 17179738112, 45091651584, 66563866624, 206156857344, 274877382656, 798766399488, 962065334272, 1090788524032...

 

Los números a(n) pueden ser expresados como

 2^(m+n+p+...)*(2^m-1)*(2^n-1)*(2^p-1)... con  2^m-1, 2^n-1, 2^p-1 primos de Mersenne distintos (A000668(n)). Ejemplo: 55552 = 2^6*7*31=2^6*(2^3-1)*(2^5-1).

Esta sucesión contiene a A139256.

El número a(n) pertenece a A139256 o bien a(n) es el producto de dobles de números perfectos.     A139256(n). Ejemplo: 1090788524032 = 16256*67100672 = (2*8128)*(2*33550336) = A139256(4) * A139256(5).

Ejemplo

11904 = 93*(93+31+3+1)

 

 

(39) A225418

Números compuestos N que contienen las cifras de SOFP(N) (suma de sus factores primos sin repetición)

25, 32, 54, 98, 125, 126, 128, 140, 196, 230, 243, 246, 255, 256, 315, 322, 348, 366, 392, 512, 520, 576, 625, 810, 828, 896, 1024, 1029, 1060, 1080, 1152, 1166, 1216, 1224

Ejemplo

17061 está en la sucesión porque 17061=3*11*11*47, sopf(17061)=3+11+47=61, subcadena de  17061

 

(38) A225417

Números compuestos N que contienen las cifras de la suma de sus partes alícuotas

6, 28, 121, 437, 496, 611, 1331, 1397, 8128, 10201, 14641, 27019, 40301, 40991, 41347, 41917, 45743, 47873, 49901, 51101, 67997, 76459, 97637, 99101, 99553, 99779, 120353

Ejemplo

1031311 pertenece a la secuencia porque 1031311=10211*101, Suma de`partes alícuotas: 1+101+10211=10313, subcadena de 1031311

Comentario

Todos los elementos son perfectos o deficientes impares.

 

(37) A213189

Catetos de las ternas presentadas en A213188

10, 6, 36, 91, 120, 210, 253, 300, 378, 528, 630, 1176, 2016, 2346, 3003, 3240, 3828, 4560, 4656, 4950, 5460, 6105, 6903, 7140, 7260, 8778, 10296, 11628, 13530, 14028, 14196, 15400, 17766, 19110, 23220, 23436, 24310, 25200, 26796,...

Ejemplo

El cateto triangular 91 y la hipotenusa triangular 325 forman la terna pitagórica {325, 91, 312}.

 

(36) A213188

Números triangulares que son hipotenusas de ternas pitagóricas que tienen al menos un cateto también triangular

10, 45, 136, 325, 435, 595, 630, 666, 780, 1225, 2080, 2145, 3321, 5050, 5565, 5886, 6216, 7381, 7503, 9316, 10440, 11026, 11175, 12246, 13530, 14196, 14365, 14535, 15753, 16653, 18915, 19306, 24310, 25425, 32896, 33670, 39060, 41905, 42195, 49141, 50721, 52650

Ejemplo

El triangular 45 y el triangular 36 forman la terna pitagórica {45, 36, 27}.

Comentario

El cuadrado del tercer lado equivale a una suma de cubos consecutivos (o un solo cubo). Así, en la terna {325,91,312}, 312^2 = 14^3+15^3+...+25^3 = 97344.

 

(35) A209310

Números triangulares cuya suma de divisores triangulares es triangular y mayor que 1

6, 4186, 32131, 52975, 78210, 111628, 237016, 247456, 584821, 750925, 1464616, 3649051, 5791906, 11297881, 16082956, 24650731, 27243271, 38618866, 46585378, 51546781, 56026405, 76923406, 89880528, 96070591, 126906346, 164629585, 201854278, 228733966

Ejemplo

4186 está en la secuencia porque es  triangular (4186 = 91*92/2) y la suma de sus divisores triangulares 4186+91+1 = 4278 también lo es (4278 = 92*93/2)

 

(34) A209309

 

Números cuya suma de divisores triangulares es triangular y mayor que 1

6, 12, 18, 24, 48, 54, 96, 102, 110, 114, 138, 162, 174, 186, 192, 204, 220, 222, 228, 246, 258, 282, 315, 318, 348, 354, 364, 366, 372, 384, 402, 414, 426, 438, 440, 444, 456, 474, 486, 492, 498, 516, 522, 534, 550, 558, 564, 582, 606, 618, 636, 642, 654, 678...

Ejemplo

186 pertenece a la secuencia porque la suma de sus divisores triangulares 1+3+6 = 10 es también triangular

 

(33) A185027

Suma de los divisores triangulares de N

1, 1, 4, 1, 1, 10, 1, 1, 4, 11, 1, 10, 1, 1, 19, 1, 1, 10, 1, 11, 25, 1, 1, 10, 1, 1, 4, 29, 1, 35, 1, 1, 4, 1, 1, 46, 1, 1, 4, 11, 1, 31, 1, 1, 64, 1, 1, 10, 1, 11, 4, 1, 1, 10...

Ejemplo

a(15) = 19 porque 1+3+15 = 19 (1, 3 y 15 divisores triangulares de 15).

 


(32) A203468

Números que poseen un único divisor triangular propio además del 1

6, 9, 15, 20, 21, 27, 33, 39, 40, 50, 51, 56, 57, 69, 70, 80, 81, 87, 93, 99, 100, 111, 112, 117, 123, 129, 130, 141, 153, 159, 160, 170, 171, 177, 182, 183, 190, 196, 200, 201, 207, 213, 219, 224, 230, 237, 243, 249, 250, 260, 261, 267, 272, 275, 279, 290

Ejemplo

40 sólo tiene un divisor triangular propio mayor que 1, el 10

 

(31) A219340

Números N no múltiplos de 9 en los que coinciden la suma de cifras N y la de su mayor divisor propio

361, 551, 703, 1007, 1273, 1691, 1843, 2033, 2071, 2183, 2413, 2603, 2641, 2701, 2831, 2923, 3071, 3173, 3293, 3743, 3781, 4033, 4313, 4351, 4541, 5143, 5263, 5513, 6023, 6031, 6401, 6403, 6623, 6631, 6821, 7081, 7141, 7363, 7391, 7543, 8303, 8341, 8531

Ejemplo

12673 está en la secuencia porque 12673 = 19*23*29, su mayor divisor propio es 667. Ambos tienen la misma suma de cifras, 19.

 

(30) A218380

Número de particiones de N en distintas partes que son números pentagonales

1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0,

Ejemplo

A(98)=3 porque 98= 12+ 35+ 51=  1+ 5+ 92 = 1+ 5+ 22+ 70 con 1, 5, 22, 70, 92 números pentagonales.

 

(29) A218379

Número de particiones de N (con repetición) en partes que son números pentagonales

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 9, 10, 11, 11, 13, 13, 14, 15, 15, 17, 17, 19, 21, 22, 24, 24, 26, 28, 29, 31, 31, 34, 36

Ejemplo

A(15)=5 porque 15 = 12 + 1 + 1 + 1 = 5 + 5 + 5 = 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 con 12, 5, 1 números pentagonales

 

(28) A217612

Diferencias entre el enésimo primo y el mínimo semiprimo mayor que él

2, 1, 1, 2, 3, 1, 4, 2, 2, 4, 2, 1, 5, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 9, 5, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 1, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 1, 4, 2, 2, 3, 8, 6, 2, 8, 6, 2, 2, 2, 5, 3, 1, 6, 4

Ejemplo

a(7) = 4, porque 17 es el séptimo primo, 17+1 = 18 = 2*3^2, 17+2 = 19 = 19 y 17+3 = 20 = 2^2*5 no son semiprimos, pero 17+4 = 21 = 3*7 sí lo es.

 

 

(27) A217387

Números omirps (primos con simétrico también primo) que al restarlos con su pareja producen un cubo perfecto

1523, 3251, 7529, 9257, 154747, 165857, 171467, 174767, 312509, 322519, 373669, 747451, 758561, 764171, 767471, 905213, 915223, 966373, 1000033, 1020233, 1077733, 1078733, 1083833, 1099933, 1165643, 1173743, 1175743

Ejemplo

905213 es primo, 312509 es primo. 905213 - 312509 = 592704 = 84^3

 

(26) A217386

Números omirps (primos con simétrico también primo) que al restarlos con su pareja producen un cuadrado perfecto

37, 73, 1237, 3019, 7321, 9103, 104801, 105601, 106501, 108401, 111211, 112111, 120121, 121021, 137831, 138731, 144541, 145441, 150151, 151051, 161561, 165161, 167861, 168761, 171271, 172171, 180181, 181081, 185681, 186581, 189337, 194891

Ejemplo

302647 es primo, el simétrico 746203 es también primo. 746203-302547=443556=666^2

 

(25) A217197

Números primos P tales que el máximo semiprimo menor que P es P-3

13, 29, 61, 109, 137, 149, 181, 197, 229, 257, 277, 281, 317, 349, 389, 401, 457, 461, 541, 557, 569, 617, 677, 761, 797, 821, 929, 937, 977, 1021, 1097, 1129, 1217, 1237, 1289, 1297, 1321, 1481, 1489, 1549, 1597, 1621, 1721, 1777, 1861, 1877, 1997, 2029

Ejemplo

977 es primo, 976 = 2^4*61 y 975 = 3*5^2*13 no son semiprimos, 974 = 2*487 is semiprimo.

 

(24) A217195

Números primos P tales que el máximo semiprimo menor que P es P-2

17, 37, 41, 53, 67, 71, 79, 89, 97, 113, 131, 157, 163, 211, 223, 239, 251, 269, 293, 307, 311, 331, 337, 367, 373, 379, 397, 409, 419, 439, 449, 487, 491, 499, 521, 547, 593, 599, 613, 631, 673, 683, 691, 701, 709, 733, 739, 751, 757, 769, 773, 787, 809,...

Ejemplo

487 es primo, 486 = 2*3^5 no es semiprimo y 485 = 5*97 es semiprimo.

 

(23) A216397

Números N que son potencias no triviales de su propia función sopfr(N)

256, 19683, 27000, 777600000, 1680700000, 139314069504,
351298031616, 140710042265625, 5766503906250000000000,
1156831381426176000000000000,
58431830141132800000000000,
99938258857146531850367031,...

Ejemplo

139314069504 se descompone como 139314069504=2^18 * 3^12;  

sopfr(139314069504) = 2 * 18 + 3 * 12 = 72 y 72^6=139314069504

 

(22) A209875


Números primos tales que su próximo primo dista de ellos 18 unidades y comparten ambos la misma suma de cifras.

523, 1069, 1259, 1759, 1913, 2503, 3803, 4159, 4373, 4423, 4463, 4603, 4703, 4733, 5059, 5209, 6229, 6529, 6619, 7159, 7433, 7459, 8191, 9109, 9749, 9949, 10691, 10753, 12619, 12763, 12923, 13763, 14033, 14107, 14303, 14369, 15859, 15973, 16529, 16673, 16903,...

Ejemplo

19013 es primo, 19013+18=19031 es su siguiente primo y las cifras de ambos suman 14

 

(21) A209396


Números primos tales que junto con los dos siguientes primos forman un triplete con la misma suma de dígitos.

22193, 25373, 69539, 107509, 111373, 167917, 200807, 202291, 208591, 217253, 221873, 236573, 238573, 250073, 250307, 274591, 290539, 355573, 373073, 382373, 404273, 407083,

Ejemplo

200807 forma el triplete 200807, 200843, 200861 denúmeros primos consecutivos con la misma suma de dígitos suma_dígitos(200807)= suma_dígitos(200843)= suma_dígitos(200861)=17

 

(20) A209663


Números primos tales que al sumarles 18 dan como resultado otro primo cuyas cifras suman igual que el primer primo

5, 13, 19, 23, 29, 43, 53, 79, 109, 113, 139, 149, 163, 173, 179, 223, 233, 239, 263, 313, 349, 379, 439, 443, 449, 491, 503, 523, 569, 613, 643, 659, 673, 691, 709, 733, 739, 743, 769, 809, 839, 859, 863, 919, 929, 953, 1013, 1033, 1069, 1091, 1153, 1163..

Ejemplo

613 pertenece a la secuencia porque 613 es primo, 613+18 = 631 es también primo y los dígitos de 613 suman 10 y los de 631 también.

 

(19) A203663


Números de Aquiles cuyo doble también lo es

432, 972, 1944, 2000, 2700, 3456, 4500, 5292, 5400, 5488, 8748, 9000, 10584, 10800, 12348, 12500, 13068, 15552, 16000, 17496, 18000, 18252...

Todos han de ser múltiplos de 4

Ejemplo

15552 pertenece a la secuencia porque 15552= 2^6*3^5 (número de Aquiles) y 15552*2=2^7*3^5 también lo es.

 

(18) A203662

Números de Aquiles en los que su máximo divisor propio también lo es

864, 1944, 3888, 4000, 5400, 6912, 9000, 10584, 10800, 10976, 17496, 18000, 21168, 21600, 24696, 25000, 26136, 30375, 31104, 32000, 34992, 36000, 36504, 42336, 42592, 43200, 48600, 49000, 49392, 50000...

El exponente de su menor divisor primo ha de valer al menos 3

Ambos, N y su mayor divisor propio tienen los mismos factores primos (salvo exponentes)

Ejemplo

17496  pertenece a la secuencia porque 17496=2^3*3^7 (número de Aquiles) y su mayor divisor propio 8748=2^2*3^7 también lo es

 

(17) A203025

Máximo divisor potencia perfecta de n

1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 8, 9, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 16, 1, 9, 1, 4, 1, 1, 1, 8, 25, 1, 27, 4, 1, 1, 1, 32, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 9, 1, 1, 16, 49, 25, 1, 4, 1, 27, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 9, 64, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 25, 4...

Constituyen las potencias mayores que son divisores de un número.

Ejemplo

a(40)=a(2^3*5)=2^3=8

 

(16)  A143610

Publicamos el siguiente comentario:

Every a(n) is an Achilles number (A052486). They are minimal, meaning no proper divisor is an Achilles number. [Antonio Roldán, Dec 27 2011]

Los números de la secuencia 72, 108, 200, 392, 500, 675, 968, 1125, 1323, 1352, 1372, 2312, 2888, 3087, 3267, 4232 son números de Aquiles, pero ningún divisor propio suyo lo es.

 

(15) A066540

Añadido el siguiente comentario:

The difference between the two primes of the pair is a multiple of 18. - Antonio Roldán, Mar 13 2012

 

(14) A201220

Primos p con p-1 semiprimo , p-2 3-casiprimo y p-3 4-casiprimo               

107, 263, 347, 479, 863, 887, 1019, 2063, 2447, 3023, 3167, 3623, 5387, 5399, 5879, 6599, 6983, 7079, 8423, 8699, 9743, 9887

En ellos p-1 es par, p-2 múltiplo de 3, p-3 múltiplo de 4 y p es del tipo 12k-1

Ejemplo

6599 es primo, 6598=2*3299 is semiprimo, 6597=3*3*733 es 3-acasi primo, 6596=2*2*17*97 es 4-acasi primo

(Por sugerencia de Claudio Meller)

 

(13) A201147

Primos p con p-1 semiprimo y p-2 3-casiprimo 

47, 107, 167, 263, 347, 359, 467, 479, 563, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1907, 2039, 2063, 2099, 2447, 2819, 2879,…

Ejemplo:

2099 es primo, 2098=2*1049 es semiprimo y  2097=3*3*233 is 3-casi primo

En ellos p-1 es par, p-2 múltiplo de 3 y p es del tipo 12k-1

(Por sugerencia de Claudio Meller)

 

(12) A198286

a(n) es la suma de los mínimos múltiplos cuadrados de todos los divisores de n

1, 5, 10, 9, 26, 50, 50, 25, 19, 130, 122, 90, 170, 250, 260, 41, 290, 95, 362, 234, 500, 610, 530, 250, 51, 850, 100, 450, 842, 1300, 962, 105, 1220, 1450, 1300, 171, 1370, 1810, 1700,

Ejemplos:

a(18)=95 porque 18=2*3^2 luego a(18)=(1+4)(1+9+9)=5*19=95

a(20)=234, 20=2^2*5, a(20)=(1+4+4)(1+25)=9*26=234

 

Es una función multiplicativa con expresión algebraica para a(pe) igual a

 

a(pe) = 1+2*(pe+2-p2)/(p2-1) si e es par y a(pe)=(1+p2)((pe+1-1)/(p2-1))  si es impar

 

 

(11) A197112

Números en los que phi(N)=phi(N+1)+phi(N+2), siendo phi la indicatriz de Euler.

193, 3529, 9337, 27229, 46793, 78181, 90193, 112993, 135013, 437183, 849403, 935219, 1078579, 1283599, 1986973, 2209583, 2341183, 2411173, 2689693, 2744143, 3619069, 3712543, 4738183, 5132983, 6596119, 7829029,...

Por ejemplo, 112993 pertenece a la secuencia porque phi(112993)=106704, phi(112994)=48384, phi(112995)=58320  con  106704=48384+58320.

Para n<4*10^6 todos son primos, semiprimos o triprimos.

 

(10) A193003

Números cuadrados en los que el MCD de sigma(N) y usigma(N) es mayor que 1

225, 576, 900, 3600, 8649, 11025, 14400, 19881, 20449, 21025, 27225, 28224, 34596, 38025, 44100, ...

Por ejemplo,  38025=3^2 * 5^2 * 13^2  sigma(38025)=73749=3 * 13 * 31 * 61  usigma(38025)=44200=2^3 * 5^2 * 13 * 17  MCD=13

Para n menor que  4*10^6, sólo aparecen los valores 5, 13, 37, 61, 65, 73 y 793 para el MCD . En el resto de números el MCD vale 1

Todos los factores primos del MCD son del tipo 4n+1

 

(9) A192577

Números tales que la media aritmética de sus divisores unitarios es un número primo

3, 5, 6, 9, 12, 13, 25, 37, 48, 61, 73, 81, 121, 157, 193, 277, 313, 361, 397, 421, 457, 541, 613, 625, 661,...

Por ejemplo

48 tiene como divisores unitarios  1, 3, 16, 48 y  (1+3+16+48)/4 = 17 es primo

Los que son impares cumplen que tanto n como (n+1)/2 son primos

Los pares siguen la fórmula A(n)=3*2n-1

 

(8) A190665

Números tales que la suma de sus partes alícuotas es la potencia de un entero.

Son partes alícuotas todos los divisores del número salvo él mismo.

9, 10, 12, 15, 24, 26, 49, 56, 58, 69, 75, 76, 90, 95, 119, 122, 124, 133, 140, 143, 147, 153, 176, 194…

Por ejemplo

122: Partes alícuotas: 1, 2, 61, Suma: 1+2+61= 64 = 8^2

140: 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 = 196 = 14^2

(7) A189883

Números tales que su parte cuadrada es una unidad mayor que su parte libre

La parte cuadrada de un número es el mayor divisor cuadrado que contiene, eventualmente el 1.

La parte libre es la complementaria, el producto de todos los factores restantes.

12, 240, 1260, 20592, 38220, 65280, 104652, 159600, 233772, 809100, 1047552, 1335180, 1678320, 2083692, ...

Por ejemplo, 1260 = 2^2*3^2*5*7, parte cuadrada: 2^2*3^2 = 36, parte libre: 5*7 = 35, y  36 = 35+1.

 

(6) A187878

Números n que cumplen sopfr(n + omega(n)) = sopfr(n)

Sopfr es la suma de factores primos contados con multiplicidad.

Omega es el número de factores primos de n contados sin multiplicidad

5, 8, 10, 125, 231, 250, 470, 1846, 2844, 2856, 3570, 5126, 5320, 7473, 8687, 12555, 12573, 16740,...

omega(5126)=3, (5126=2*11*233), 5126+3=5129, sopfr(5126)=2+11+233=246,

5129=23*223, sopfr(5129)=2+223=246

 

(5) A187877

Números n que cumplen sopfr(n + bigomega(n)) = sopfr(n)

Sopfr es la suma de factores primos contados con multiplicidad.

Biomega es el número de factores primos de n contados con multiplicidad (la suma de sus exponentes)

1, 5, 10, 45, 60, 128, 231, 308, 470, 847, 1846, 3570, 4284, 4740, 5126, 5688, 6171, 6650, 7473

308 es un término porque biomega(308)=4 (308=2*2*7*11), 308+4=312, sopfr(308)=2+2+7+11=22, 312=2*2*2*3*13, sopfr(312)=2+2+2+3+13=22

 

(4) A187400

Números semiprimos cuya media de factores es también un semiprimo.

15, 35, 51, 65, 77, 91, 115, 123, 141, 161, 185, 187, 201, 209, 219, 221, 235, 259, 267, 301...

Por ejemplo 187=11*17, y el promedio de ambos es (11+17)/2=14, que es semiprimo, porque 14=2*7

Igualmente, 267=3*89 y (3+89)/2=46=2*23

 

(3) A187073

Números que tienen todos sus factores primos distintos (son números libres de cuadrados) y el promedio de esos factores es un número primo.

21, 33, 57, 69, 85, 93, 105, 129, 133, 145, 177, 195,…

Por ejemplo 145=5*29, y el promedio de ambos es (5+29)/2= 17, que es primo.

195=3*5*13, y el promedio es (3+5+13)/3 = 21/3 = 7, también primo.

 

(2) A176996

Números cuya suma de divisores es un cuadrado perfecto, y también lo es si sólo sumamos los divisores propios.

1, 3, 119, 527, 935, 3591, 3692, 6887, 12319, 47959, 65151, 97767, 99116, 202895, 237900, 373319, 438311,...


El número 3 tiene esta propiedad doble: si sumamos sus divisores con él incluido nos resulta un cuadrado perfecto (1+3=4=22) y si no lo incluimos, también resulta un cuadrado (1=12)

El 119, cumple lo mismo, porque 1+7+17+119=144=12
2
y 1+7+17=25=52
 

(Presentada por Claudio Meller recogiendo una entrada del autor)

 

(1) A177021

Números que representan el área de tres triángulos rectángulos distintos con medidas enteras (ternas pitagóricas)

840, 3360, 7560, 10920, 13440, 21000, 30240, 31920, 41160, 43680, 53760, 68040, 84000, 98280,...

Cada uno de estos números representa el área de tres triángulos que forman terna pitagórica.

Por ejemplo:

840 es el área de: {15,112,113}, {24,70,74} y {40,42,58}.

3360 es el área de: {30,224,226}, {48,140,148} y {80,84,116}.

7560 es el área de: {45,336,339}, {72,210,222} y {120,126,174}.

 

(Presentada por Claudio Meller recogiendo una entrada del autor)